Definición del Modelo

Y: Variable dependiente o explicada.

X1, X2, …, Xk: Variables independientes o explicativas. k indica el número de variables.

β1, β2, …, βk: Coeficientes del modelo, miden el efecto de las variables explicativas.

U: Término de error, representa factores no incluidos en el modelo.

Regresión Lineal Simple

Modelo con una única variable explicativa: Yi = β₀ + β₁x_i + ui

β0: Intercepto (valor de y cuando x=0).

β1: Efecto de x sobre y.

• Si x aumenta y y aumenta, β1 es positivo.
• Si x aumenta y y disminuye, β1 es negativo.

El valor de β₁ se estima con el Estimador Mínimo Cuadrados Ordinarios (MCO).

Estimador MCO

Busca minimizar la suma de los cuadrados de las distancias entre los valores observados y los predichos por el modelo.

Supuestos del Modelo

MRLS1. Linealidad

Relación lineal entre y y x.

MRLS2. Muestra Aleatoria

Los datos son una muestra aleatoria.

MRLS3. Variabilidad de x

Los valores de x no son todos iguales.

MRLS4. Media Condicional del Error Cero

E[ui | xi] = 0

MRLS5. Homocedasticidad y Ausencia de Correlación Serial

Var(ui | xi) = σ² y Cov(ui, uj) = 0.

Valores Ajustados y Residuos

Valores ajustados: ŷi = β̂₀ + β̂₁xi

Residuos: ûi = yi – ŷi

Propiedades Algebraicas de los Estimadores MCO

1. La suma de los residuos es cero.
2. La covarianza entre x y los residuos es cero.
3. La recta de regresión pasa por (x̄, ȳ).
4. La media de los valores ajustados es igual a la media de y.
5. La covarianza entre los valores ajustados y los residuos es cero.

Bondad de Ajuste

Coeficiente de determinación R²: Proporción de la variabilidad de y explicada por x.

0 ≤ R² ≤ 1

Propiedades Estadísticas de los Estimadores MCO

1. Linealidad en y.
2. Insesgadez: E(β̂₀) = β₀ y E(β̂₁) = β₁.
3. Varianza de los estimadores.

Formas Funcionales y Cambios de Escala

Caso 1: Sin Logaritmos

yi = β₀ + β₁xi + ui

Interpretación: Un cambio unitario en x resulta en un cambio de β₁ unidades en y.

Caso 2: Variable Dependiente en Logaritmos

log(yi) = β₀ + β₁xi + ui

Interpretación: Un cambio unitario en x resulta en un cambio porcentual de β₁*100% en y.

Caso 3: Variable Independiente en Logaritmos

yi = β₀ + β₁log(xi) + ui

Interpretación: Un cambio porcentual del 1% en x resulta en un cambio de β₁/100 unidades en y.

Caso 4: Ambas Variables en Logaritmos

log(yi) = β₀ + β₁log(xi) + ui

Interpretación: Un cambio porcentual del 1% en x resulta en un cambio porcentual de β₁% en y.