Propiedades de las Sumatorias

Resumen

El trabajo con sumas de números es frecuente en múltiples problemas que deben enfrentar a diario los especialistas de diversas ramas del conocimiento, y para su determinación se trabaja desde el punto de vista teórico en la obtención de expresiones compactas, no obstante las facilidades que brindan las aplicaciones de la Ofimática, con vistas a evitar errores provenientes de la captación de datos.

Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que pueden ser beneficiadas con este tipo de resultado, en el presente trabajo se realiza una recopilación de las propiedades de las sumatorias reportadas en la literatura, posterior a lo cual se proponen y demuestran otro conjunto particularmente relevante cuando se trabaja con funciones de variable discreta cuyo intervalos de variación son uniformes en todo el dominio de la función.

I. Introducción

El estudio de fenómenos y procesos que ocurren en la Naturaleza y la Sociedad conduce a la formulación de modelos que los describen y predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su diversidad, pueden agruparse en dos categorías: continuos, como la descripción de la transmisión del movimiento a través de una cuerda, el desplazamiento de un vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos históricos de una entidad, los registros de temperatura de un país o territorio, etc.

Esta última categoría, discretos, tiene gran importancia en la actualidad atendiendo al acelerado desarrollo de las técnicas digitales, que en la práctica es un proceso donde toda la información, en última instancia, se representa a través de conjuntos ordenados de dos valores lógicos: falso o verdadero.

En términos matemáticos, el estudio de las funciones cuya variable dependiente exhibe una variación discreta constituye una especialidad, que tiene en las sumatorias y series un componente relevante.

Tomando en cuenta lo señalado, en el presente trabajo se relacionan un conjunto de propiedades reportadas en la literatura sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden facilitar cálculos tales como la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultantes del planteamiento del problema de la obtención de expresiones analíticas para la derivada de funciones de variable independiente discreta.

II. Generalidades

Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota como sigue:

S = ∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub>

donde:

• S: magnitud resultante de la suma.
• T: cantidad de valores a sumar.
• k: índice de la suma, que varía entre h y h+t
• h: punto inicial de la sumatoria
• h+t: punto final de la sumatoria
• n_k: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k

Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t? ?, que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

S = ∑<sub>k=h</sub><sup>∞</sup> n<sub>k</sub>

Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no será abordado en este trabajo.

III. Propiedades de las Sumatorias

Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.

III.1 Reportadas en la literatura

Propiedad #1:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub> = n<sub>h</sub> + n<sub>h+1</sub> + ... + n<sub>h+t</sub>

Propiedad #2:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (a n<sub>k</sub>) = a (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub>)

Propiedad #3:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (n<sub>k</sub> + m<sub>k</sub>) = (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub>) + (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> m<sub>k</sub>)

Propiedad #4:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (n<sub>k</sub> - m<sub>k</sub>) = (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub>) - (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> m<sub>k</sub>)

Propiedad #5:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub><sup>2</sup> = n<sub>h</sub><sup>2</sup> + n<sub>h+1</sub><sup>2</sup> + ... + n<sub>h+t</sub><sup>2</sup>

Propiedad #6:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (n<sub>k</sub> m<sub>k</sub>) = n<sub>h</sub> m<sub>h</sub> + n<sub>h+1</sub> m<sub>h+1</sub> + ... + n<sub>h+t</sub> m<sub>h+t</sub>

Propiedad #7:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub><sup>m</sup> = n<sub>h</sub><sup>m</sup> + n<sub>h+1</sub><sup>m</sup> + ... + n<sub>h+t</sub><sup>m</sup>

Propiedad #8:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (a n<sub>k</sub> + b m<sub>k</sub>) = a (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub>) + b (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> m<sub>k</sub>)

Propiedad #9:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (n<sub>k</sub><sup>2</sup> + m<sub>k</sub><sup>2</sup>) = (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub><sup>2</sup>) + (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> m<sub>k</sub><sup>2</sup>)

Propiedad #10:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (n<sub>k</sub> - m<sub>k</sub>)<sup>2</sup> = (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub><sup>2</sup>) + (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> m<sub>k</sub><sup>2</sup>) - 2 (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub> m<sub>k</sub>)

Propiedad #11:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> (n<sub>k</sub> + m<sub>k</sub>)<sup>2</sup> = (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub><sup>2</sup>) + (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> m<sub>k</sub><sup>2</sup>) + 2 (∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub> m<sub>k</sub>)

III.2 Obtenidas en este trabajo

En la práctica existen múltiples problemas cuya solución conduce al cálculo de sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el caso de la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultante para la determinación de las derivadas de funciones con intervalo de variación uniforme de la variable dependiente; los problemas que exhiben simetría, etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones útiles de trabajo, que simplifican las operaciones a realizar, entre las que pueden señalarse las que se deducen a continuación.

III.2.1 Considerando simetría en el recorrido del índice de la suma

Una condición que trata de utilizarse siempre que sea posible, ya que simplifica los cálculos en los modelos de fenómenos o procesos, es la simetría, la que en términos de las sumatorias esta característica se corresponde con la variación del índice de la suma en el intervalo como se indica a continuación:

∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>k</sub> = ∑<sub>k=h</sub><sup>h+t</sup> n<sub>h+t+1-k</sub>

Bajo esta hipótesis de trabajo, es posible obtener el conjunto de propiedades que se demuestran a continuación.

Propiedad #1:   

Demostración:

 

Propiedad #2:  

Demostración:
 

Propiedad #3:  

 
Propiedad #4:  

 

Propiedad #5:  

 

II.2.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con variable independiente de la forma x ± k D x
Una aplicación en la cual las sumatorias simétricas adoptan un término interesante es el caso de la obtención de expresiones analíticas por el cálculo de las derivadas de funciones de variable discreta, en el cual es común trabajar con términos de la forma elevado a una cierta potencia. A continuación se deducen cinco propiedades de gran utilidad práctica.

Propiedad #1: Cálculo de

Propiedad #2: Cálculo de

Propiedad #3: Cálculo de

Propiedad #4: Cálculo de

Propiedad #5: Cálculo de

Propiedad #6: Cálculo de

IV. Conclusiones
Como conclusión de este trabajo puede señalarse que se relacionan un conjunto de propiedades de las sumatorias descritas en la literatura, a partir de las cuales se dedujeron diversas propiedades, que son de particular utilidad para el cálculo de los determinantes asociados a la solución del Sistema de Ecuaciones Lineales resultante del planteamiento del problema de obtención de expresiones analíticas para el cálculo de la derivada de funciones de variable discreta.

V. Bibliografía
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Trabajo enviado por:
M.Sc. Lic. Jesús Mesa Orama,
Especialista de Normas y Procedimientos, Sociedad Havanatur S.A., Corporación CIMEX S.A.
jmesa@cimex.com.cu