1-¿Cómo se define la relación de consecuencia en Lógica de
Primer Orden?

La relación de consecuencia no solo pertenece a la Lógica de
Primer Orden, sino que ya en la lógica proposicional previamente vista aparecía
Como uno de los conceptos más importantes.

Definimos relación de consecuencia como la correspondencia
Entre un conjunto de fórmulas (representadas por medio del símbolo Γ) y una
Fórmula concreta (denominada como A).
Esto, expresado en lenguaje de símbolos queda del siguiente modo: Γ⊨A syss para todo M y σ, si M,σ⊨Γ
Entonces M,σ⊨A.

La definición de relación de consecuencia para la Lógica de
Primer Orden cambia un poco respecto de la lógica proposicional. En esta M y σ
Son los que deben satisfacer todas las fórmulas que pertenezcan a Γ. Cabe
Precisar que el símbolo ⊨ es usado tanto para representar el
Concepto de satisfacción como para representar la propia relación de
Consecuencia. Estos dos conceptos, pese a estar relacionados, no son
Equivalentes.

Con lo cual podemos concluir que lo que anteriormente hemos
Definido como relación de consecuencia, a saber, Γ⊨A syss para todo M y σ, si M,σ⊨Γ
Entonces M,σ⊨A puede ser también definido de este
Modo Γ⊨A syss no existen M y σ tales que M,σ⊨Γ pero M,σ⊭A.

Además de esto, dos sentencias A y B son equivalentes (A≡B)
Si son satisfechas exactamente por los mismos modelos. Un ejemplo de esto son
Las fórmulas ∀xA≡¬∃x¬A.

2-Explica qué dice y por qué es importante el teorema de
Compacidad en Lógica de Primer Orden

El teorema de Compacidad dice, a grandes rasgos, que dados
Cualquier conjunto de fórmulas Γ y cualquier fórmula A, Γ⊨A syss existe un subconjunto finito de Γ (Γ’) tal que Γ’⊨A. El teorema de Compacidad es, realmente, la extensión del
Teorema semántico de la deducción que se hace para conjuntos infinitos. El
Teorema semántico de la deducción dice que para cualquier conjunto de fórmulas
Γ y para cualesquiera fórmulas A y B, Γ,A⊨B syss Γ⊨A→B.

Lo que el teorema de Compacidad dice es que, si de un
Conjunto finito Γ podemos sacar una cierta conclusión entonces no es necesario
Un conjunto infinito para llegar a alguna otra conclusión, con lo cual, nunca son
Necesarias infinitas premisas. Podemos formular el teorema de Compacidad
También del siguiente modo: todo conjunto de fórmulas finitamente satisfacible
Es satisfacible, lo cual implica que, suponiendo un conjunto infinito de fórmulas
Γ, para cada uno de sus subconjuntos finitos podemos encontrar un modelo y una
Asignación que satisfagan las fórmulas de Γ’. Esto puede darse, aunque cada
Modelo y asignación que satisfagan cada subconjunto sean diferentes y aunque
Ningún modelo y asignación satisfagan más de un subconjunto. Esto es posible ya
Que el teorema de Compacidad dice que siempre habrá algún modelo y asignación
Que satisfagan el conjunto Γ completo.

Es importante porque su existencia significa que existen
Sistemas deductivos correctos y completos, y es la clave para determinar todos
Los límites de la L1ºO y además permite descubrir y demostrar la existencia de
Los modelos no estándar.

3-Explica qué se entiende por límites de la Lógica de Primer Orden, pon un
Par de ejemplos y aclara la importancia del Teorema de Compacidad en esta
Cuestión.

Existen ciertas cosas relacionadas con el tamaño de los
Modelos que nos es imposible expresar en lenguaje de primer orden con
Identidad. Para demostrar estos límites que posee la capacidad explicativa de
La lógica de primer orden es necesario emplear el teorema de compacidad.
Estos
Límites son sentencias que podemos hacer en otros lenguajes como el castellano
Sin aparente problema pero que no existe ninguna fórmula posible en el lenguaje
De primer orden que pueda ser equivalente.

Algunos de los límites que este lenguaje posee son la
Expresión mediante una fórmula el de la infinitud (una única sentencia que diga
“hay infinitos elementos”), la finitud y la descripción completa del conjunto
De los números naturales. El teorema de compacidad tiene especial relevancia en
Este respecto ya que es por su culpa por lo que existen estos límites, es
Decir, el lenguaje de primer orden con identidad no puede expresar ninguna de
Estas tres cosas ya que el teorema de compacidad conduce a una contradicción
Irresoluble por este lenguaje.

4-Explica las diferencias entre la Lógica de Primer Orden y la Lógica de
Segundo Orden

La lógica de segundo orden, realmente, es una extensión de la
De primer orden que nace con el objetivo de incrementar la capacidad expresiva
De esta. El lenguaje de segundo orden es resultado de añadir al lenguaje de
Primer orden la posibilidad de cuantificar también sobre propiedades y
Relaciones (y no solo sobre individuos). Esto permite formular proposiciones
Del tipo “para toda relación binaria…” o “existe una propiedad que…”, etc. Estas
Variables predicativas permiten construir fórmulas atómicas de la misma manera
Que las correspondientes constantes predicativas n-arias. Estas nuevas
Variables se conocen como variables de segundo orden. De esta manera, en la
Lógica de segundo orden los cuantificadores de primer orden cuantifican sobre
Elementos del dominio y los de segundo orden (o monádicos) cuantifican sobre
Subconjuntos de D.

La semántica de la lógica de segundo orden es similar a la de
Primer orden, añadiendo el tratamiento adecuado para las nuevas variables que,
En todo caso, se maneja de modo muy similar a las variables de primer orden.
Los modelos del lenguaje de segundo orden son iguales que los de primer orden:
Un dominio y la función que interpreta las constantes individuales y los
Símbolos relacionales (que en la lógica de segundo orden se llaman constantes
De predicado y de relación). Las funciones de asignación tendrán ahora que
Asignar también valores adecuados a las variables predicativas, con lo que una
Asignación ahora es una función “σ” tal que:

·Para
Cada variable individual x, σ (x)ÎD (igual que antes)

·Para
Cada variable predicativa n-aria X n , σ (X n )ÍD

5-Explica por qué la Lógica de Segundo Orden supera los límites de la
Lógica de Primer Orden y qué tiene eso que ver con la ausencia de Compacidad.

El teorema de compacidad viene derivado del teorema de
Corrección y del teorema de completud. Debido a que ninguno de estos dos se
Cumple en la lógica de segundo orden, el teorema de compacidad tampoco lo hace.
El problema está en que en la lógica de segundo orden es imposible reducir la
Relación de consecuencia a un conjunto de reglas de la misma manera que se hace
En la lógica proposicional o en la de primer orden. No puede haber, entonces,
Un sistema deductivo correcto y completo tal que en cada deducción aparezca
Sólo una cantidad finita de premisas porque con esos se demostraría la
Compacidad. Con lo que ningún sistema deductivo de la lógica de segundo orden
Nos puede permitir extraer de un conjunto de premisas todas sus consecuencias.

Esta ausencia de compacidad es la que permite a la lógica de
Segundo orden ampliar las fronteras de la de primer orden. Esto significa que
En la lógica de segundo orden es posible expresar tanto la finitud como la
Infinitud mediante una sola fórmula. La imposibilidad de hacerlo en la lógica
De primer orden se debe a la contradicción que se produce a introducir el
Teorema de compacidad y la lógica de segundo orden carece de este problema

6. Explica sucintamente
Por qué hay muchas posibilidades a la hora de definir modelos modales de Primer
Orden

Existen muchas posibilidades porque:

·El
Dominio de objetos puede ser el mismo en todos los mundos posibles o no.

·La
Interpretación de las constantes debe ser la misma en todos los mundos posibles
O puede variar de un mundo posible a otro.

·Cuando
Los dominios son variables, los cuantificadores se refieren en cada mundo
Posible a los objetos que existen en ese mundo posible. La cuestión ahora es si
Nos puede interesar admitir que en los mundos posibles se puede hablar de
Objetos que no existen en ellos, en el sentido de que la interpretación de una
Constante en un mundo posible pueda ser un objeto que no existen en ese mundo
(es decir, que no está en su dominio, aunque si el dominio de algún otro mundo
Del modelo) y que la interpretación de las propiedades, relaciones, etc. En un
Mundo puedan incluir igualmente objetos no existentes en él.

·Las
Variables representan objetos (se dice, por eso, que la cuantificación es
Objetual) mientras que las constantes (no rígidas) representan diferentes
Objetos en diferentes mundos posibles, es decir, cierto tipo de intensiones.
Intuitivamente, eso representa cierto tipo de conceptos, conceptos
Individuales. Otra posibilidad que se nos presenta entonces es la de a ver que
Las variables también representen intensiones (o conceptos individuales) en
Lugar de presentar objetos. En ese caso los cuantificadores ya no se refieren a
Individuos sino a funciones de mundos a individuos.

6-Por qué aparece y en qué consiste la paradoja de Russell

La paradoja de Russell (llamada así porque fue formulada por
Bertrand Russell) nace del postulado de la teoría de conjuntos propuesta por
Cantor y Frege que dice que toda propiedad ha de poseer un conjunto de
Elementos que la cumpla. Russel percibe un problema en esta teoría y se centra
En que no pertenece a sí mismo y plantea un conjunto definido por esa
Propiedad: R=(x: x es un conjunto que no pertenece a sí mismo) a) R pertenece a
Sí mismo o b) R no pertenece a sí mismo. Ambas posibilidades son absurdas. A)
Si R pertenece a sí mismo, entonces pertenece a R, pero para hacerlo debe
Cumplir la condición que define a R: no pertenecer a sí mismoàabsurdo.
B) Si R no pertenece a sí mismo, no pertenece a R porque no cumple la condición
Para ello, porque pertenece a sí mismoà absurdo. Esto significa que una
Teoría que toma como axiomas los principios citados (extensionalidad y
Comprensión) permite deducir contradicciones. De una contradicción se sigue
Cualquier cosa, en una teoría así se puede demostrar absolutamente todo, lo que
La convierte en inútil.

7-Explica brevemente qué es la Teoría axiomática de Conjuntos:
Por qué surge, cuál es su objetivo y, sucintamente, en qué consiste.

La teoría de conjuntos nacíón entre 1873 y 1897 a mano de los
Trabajos de Georg Cantor. En un principio fue rechazada por las grandes
Eminencias matemáticas de la época, pero finalmente se tomó como una de las
Partes fundamentales de las matemáticas y base sobre la que estas se pueden seguir
Construyendo, pero sobre todo como principal acceso al concepto de infinito.

Cuenta con unos conceptos básicos muy intuitivos: un conjunto
Es una agrupación de cosas que se conocen como sus elementos. Estos elementos
No son entidades externas a los conjuntos sino más bien son a su vez otros
Conjuntos cuyos elementos son también conjuntos y así sucesivamente. Otro de
Los conceptos básicos de esta teoría es el de pertenencia, que indica cuando
Una cosa está contenida en un conjunto. Además de esto existen varias formas de
Definir un conjunto, por ejemplo, del conjunto V={a,e,i,o,u} podemos decir o
Bien que está compuesto por las letras a,e,i,o, u o bien que es el conjunto
Formado por todas las vocales. De esta manera se pueden definir también
Conjuntos infinitos como w el cual está formado por todos los números
Naturales. 

8-Cómo se definen los números naturales en Teoría de Conjuntos

Los primeros intentos de definir los números naturales en la
Teoría de conjuntos pensaron que podría hacerse definiendo como el número n
Mediante todos los conjuntos que contengan n elementos, pero esto resulta
Contradictorio para la teoría axiomática. Con lo cual se llegó a la conclusión
De que una correcta manera de hacerlo era representar cada número n por un
Conjunto que tenga exactamente n elementos. Como el conjunto 0 no posee ningún
elemento entonces 0=Æ. El conjunto 1 deberá tener un
Elemento (el cual puede ser el que ya tenemos definido, es decir, el 0) con lo
Cual 1={0} o 1={Æ}. De esta misma forma se define el
Conjunto 2, formado por los dos elementos ya definidos, o lo que es lo mismo
2=2={0,1}={Æ,{Æ}}. Así sucesivamente con el resto de
Infinitos números naturales. Este proceso de construcción de conjuntos se
Considera recursivo ya que a partir de algo dado (0=Æ) y un
Proceso que aplicamos una y otra vez obtenemos todos los números. Con lo cual
Podemos resumir esta definición recursiva de los números naturales en la dada
Por Von Neumann:

·0=Æ

·n+1=nÈ{n}

9-Qué dice el axioma del Infinito y por qué es importante

 Una vez que ya existe
Una representación finita de cada número natural el siguiente paso es lograr
Formular un conjunto infinito cuyos elementos fueran todos los números
Naturales. Todos los axiomas que ya pertenecían a la teoría de conjuntos no son
Suficientes para conseguir expresar un conjunto infinito. Con lo cual es
Necesario formular un axioma que nos permita por lo menos tener un conjunto
Infinito mediante el cual construir los demás. De esta manera nace el axioma
Del infinito.

Este axioma dice, en líneas generales que existe un conjunto
Del que son elementos todos los números naturales. Realmente no es necesario
Especificar si este conjunto es exactamente el conjunto que contiene únicamente
Todos los números naturales o si además de ellos contiene más cosas ya que
Gracias al axioma de separación podríamos aislar el conjunto que contenga
únicamente los números. Este conjunto suele llamarse w o ℕ. Tanto los números naturales como el propio w tienen la propiedad de ser todos ellos
Transitivos (los elementos de sus elementos también son elementos suyos).

10-Explica brevemente qué dice el axioma de elección, qué tiene de especial
Y por qué es tan importante

El axioma de elección puede formularse de varias formas. En
Reglas generales lo que dice es que dado cualquier conjunto y cuyos elementos
Son conjuntos no vacíos existe siempre una función f tal que para cada x ϵ y f(x) ϵ x, o lo que es lo mismo, f
Asigna a cada uno de los conjuntos x
Que están en y uno de sus elementos,
Elige un elemento de cada uno de esos conjuntos x. Es por esto que se le denomina “de elección”.

Este axioma es especialmente importante porque es equivalente
A muchas otras afirmaciones matemáticas importantes y además es necesario para
Demostrar muchas cosas. Existen muchas equivalencias en cualquier rama
Matemática, dos de las más conocidas son la del principio de buena ordenación y
La del lema de Zorn. La primera dice que todo conjunto tiene un buen orden, es
Decir, que existe una relación binaria R para todo conjunto x que permite que
En cualquier subconjunto que cojamos de un conjunto ordenado hay siempre uno
Que es menor que los demás. El lema de Zorn lo que dice es, a grandes rasgos,
Que cuando en un conjunto se dan ciertas circunstancias debe existir un
Elemento con ciertas propiedades.

11-Qué son los ordinales. Explica brevemente lo que sepas sobre ellos

Para definir los ordinales es necesario comenzar por los
Números naturales, cada uno de los cuales es un conjunto transitivo, y además
Como sus elementos son otros números, es un conjunto transitivo cuyos elementos
También son transitivos. Además de esto cada conjunto correspondiente a un
Número natural es un conjunto bien ordenado. Una vez que teníamos la definición
De cada número natural podíamos definir w (el conjunto de todos los números
Naturales) por medio del axioma del infinito. Este conjunto w (o N) es también
Un conjunto transitivo bien cuyos elementos son también transitivos.

Por medio de ciertas operaciones (nÈ{n}) se
Puede encontrar el número n+1. De esta misma manera se puede operar con el
Conjunto w, obteniendo así w+1=wÈ{w} o lo que es lo mismo
{0,1,2,3…W}, que también es un conjunto transitivo y bien ordenado cuyos
Elementos son transitivos. Y así podemos continuar hasta el infinito (w2, w3, w²,
W^w…)

Todos los conjuntos que se obtienen por medio de este proceso
Repetitivo son los ordinales. A modo de definición más concisa: un ordinal es
Cualquier conjunto transitivo cuyos elementos son transitivos y que está bien
Ordenado por ϵ. Todo ordinal es un
Conjunto de todos los demás ordinales anteriores a él y además representan
Todos los patrones posibles de buen orden.

Además de esta definición de los ordinales existen otros
Aspectos a tener en cuenta:

·Los
Ordinales son una generalización transfinita de los números naturales por lo
Que permiten hacer generalizaciones en base a estos como las definiciones
Recursivas.

·Existen
Dos tipos de ordinales (además del 0):

oOrdinales
Sucesores: ordinales que suceden a otro inmediatamente anterior

oOrdinales
Límite: que son siempre el primero de una secuencia nueva

·No
Puede existir un conjunto que englobe a todos los ordinales ya que caería en
Contradicción. Si ese conjunto fuera O, al tener las mismas carácterísticas que
Cualquier otro ordinal podría pensarse O+1…

·Siempre,
Sea cual sea el grupo de ordinales, se cumple la propiedad fundamental de que
Siempre hay entre ellos uno menor que los demás (un elemento mínimo).

12-Explica cómo se comparan los tamaños de los conjuntos infinitos. ¿Qué
Necesitamos para asegurar que todos los conjuntos pueden compararse entre sí?

Existen tres posibilidades a la hora de comparar los tamaños
De los conjuntos que son infinitos:

·Si
Existe una función biyectiva (si cada elemento de Y aparece en la segunda
Posición de un par exactamente) entre X e Y decimos que X e Y son equiponentes
Yes o indica que ambos conjuntos son del mismo tamaño, o lo que es lo mismo,
Que X e Y tienen el mismo cardinal.

·Si
No hay una biyección entonces:

oO
Bien existe una función inyectiva (si cada elemento de Y aparece en la segunda
Posición de un par como mucho) de X a Y, entonces X es más pequeño que Y, es
Decir, el cardinal de X es menor que el de Y.

oO
Entonces existe una función suprayectiva (si cada elemento de Y aparece en la
Segunda posición de un par como mínimo) de X a Y, entonces X es mayor que Y, o
Sea, el cardinal de X es mayor que el de Y.

Esto nos lleva, dados X e Y, a suponer que estos o son
Iguales o bien uno es más grande que el otro. Esto es lo mismo que decir que
Bien existe entre ellos una biyección, una inyección o una suprayección. El
Principio que afirma esto es el llamado principio de tricotomía. No obstante,
Para demostrar este principio de tricotomía es necesario emplear el axioma de
Elección y no solo eso, sino que este principio es una de las muchas
Equivalencias con las que cuenta este axioma.

13-Explica brevemente lo que sepas sobre los cardinales

Los cardinales son los números infinitos que emplea la teoría
De conjuntos para “contar” la cantidad de elementos que tiene un conjunto. En
Otras palabras, los cardinales son los conjuntos usamos como representantes (o
Medida) de todos los conjuntos de un cierto tamaño (o sea, de todos los que son
Equipotentes con él).

Un cardinal no es más que un ordinal que no es equipotente
Con ninguno de los ordinales anteriores, por lo que son cardinales todos los
Números naturales y algunos de los ordinales infinitos.

A la pregunta de si los conjuntos que hemos definido como
Cardinales son suficiente para medir los tamaños de todos los conjuntos la
Respuesta es sí si empleamos el axioma de elección, sino es imposible
Demostrarlo.

Cabe mencionar el teorema de Cantor, el cual dice que dado
Cualquier conjunto X su conjunto potencia P(X) siempre cuenta con un cardinal
Mayor que el de X.

14-¿Qué dice el teorema de Cantor? ¿Por qué es tan importante en
La Teoría de Conjuntos?

El Teorema de Cantor dice, a grandes rasgos, que el conjunto
Potencia de cualquier conjunto es mayor que este.

Axiomáticamente todo conjunto posee un conjunto potencia
Correspondiente no sólo se da un conjunto potencia de un conjunto normal, sino
Que de este conjunto potencia existe también otro conjunto potencia mayor que
él y de este otro conjunto potencia mayor que él y así sucesiva e
Infinitamente. Esto es lo que da lugar al universo conjuntista, por esto es
Esencial el teorema de Cantor para la teoría de conjuntos.

15-Qué es un conjunto enumerable. Di si los siguientes conjuntos son
Enumerables o no y cómo lo sabemos: números pares, primos, entero, racionales y
Reales.

Un conjunto es enumerable cuando es del mismo tamaño que w,
Es decir, cuando sus elementos pueden emparejarse con los números naturales.

De los conjuntos propuestos:

·El
Conjunto de los números pares sí es enumerable porque al ser este un conjunto
De los números naturales puede realizarse una biyección.

·El
Conjunto de los números primos sí es enumerable porque al ser este un
Subconjunto de los naturales es posible realizar una función biyectiva entre
Ambos.

·Conjunto
De los números enteros sí es enumerable porque como incluye el conjunto de los
Números naturales es posible realizar una biyección entre ambos.

·Conjunto
De los números racionales sí es enumerable porque como el conjunto de los
Números racionales incluye (entre otros) el conjunto de los números naturales
Es posible realizar una biyección entre ambos.

·Conjunto
De los números reales no es enumerable porque hay más conjuntos de números
Reales que de números naturales.