Leyes de Kepler

1ª Ley de Kepler

Los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, en las que el Sol ocupa uno de los focos.

2ª Ley de Kepler

El vector de posición de cualquier planeta respecto del Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

La máxima velocidad orbital se da en el perihelio y la mínima de toda la órbita en el afelio.

3ª Ley de Kepler

El cuadrado del periodo de revolución (T) de un planeta en torno al Sol es proporcional al cubo de la distancia media (R) del planeta al Sol.

Debido a la baja excentricidad de las órbitas planetarias en torno al Sol, es posible considerar las órbitas como circulares; en este caso, R es el radio de la órbita circular.

Ley de Gravitación Universal

a) Ley de Gravitación Universal

Todos los cuerpos en el universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

• Las fuerzas poseen el mismo módulo y son de sentidos opuestos. Son fuerzas atractivas.
• El módulo de las fuerzas es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
• Con la letra G se simboliza la constante de atracción universal.

b) El Peso de un Cuerpo

El peso puede considerarse como la fuerza de atracción gravitatoria realizada sobre el cuerpo de masa m por la Tierra.

Es posible demostrar que toda esfera maciza atrae a las partículas exteriores como si toda la masa de la Tierra estuviese concentrada en su centro. Para ello, es suficiente con que la densidad de la esfera dependa únicamente de la distancia al centro.

Intensidad de Campo Gravitatorio

a) Campo Gravitatorio

Una masa m crea en el espacio que la rodea un campo de fuerza, llamado campo gravitatorio.

La intensidad de campo gravitatorio (g^->) en un punto se define como la fuerza que el campo ejerce sobre la unidad de masa colocada en ese punto.

La intensidad de campo gravitatorio tiene la misma dirección y sentido que la fuerza gravitatoria.

b) Principio de Superposición

Si se tienen varias masas puntuales, la intensidad de campo gravitatorio es la suma vectorial de las intensidades creadas por las masas individuales (principio de superposición).

c) Intensidad de Campo Gravitatorio de un Planeta

Si la masa que crea el campo gravitatorio es un planeta, el módulo de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie del planeta será:

El planeta, a efectos gravitatorios, se comporta como una masa puntual de valor m situada en el centro del planeta.

El módulo de la intensidad de campo gravitatorio creado por un planeta es la aceleración de la gravedad.

Energía Potencial Gravitatoria

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que m realiza sobre m’ cuando esta última se desplaza de A hasta B es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo. (Ver dibujo)

La energía potencial asociada a dos masas m y M separadas por una distancia r es:

• La energía potencial se convierte en el trabajo que debe realizarse contra el campo para transportar a m’ desde el infinito hasta el punto considerado con MRU.
• La Ep se anula cuando la distancia que separa a las masas es infinita.
• La Ep posee un valor negativo, como corresponde a una fuerza conservativa atractiva.
• La Ep asociada a un conjunto de masas puntuales es la suma de las Ep asociadas a cada uno de los distintos pares.

Potencial Gravitatorio

a) Definición de Potencial Gravitatorio

El potencial gravitatorio (V) en un punto se define como la Ep por unidad de masa en dicho punto.

b) Potencial Gravitatorio de una Masa Puntual

Expresión para el potencial gravitatorio creado por una masa puntual:

• El potencial gravitatorio es siempre una cantidad negativa.
• Se anula cuando r es infinito.

c) Potencial Gravitatorio de Varias Masas

Cuando existe más de una masa, el V total creado en un punto es la suma de los potenciales creados por cada una de las masas.

Justificación de las Leyes de Kepler

a) Primera Ley de Kepler

El hecho de que los planetas sigan órbitas elípticas en torno al Sol es una consecuencia directa de que la fuerza que el Sol realiza sobre ellos va siempre dirigida hacia él y que depende del inverso del cuadrado de la distancia entre planeta y Sol. Es posible demostrar que el movimiento bajo el efecto de una fuerza central que depende del inverso del cuadrado da lugar a una cónica, en la que el Sol ocupa un foco. El tipo de cónica depende del signo de la energía mecánica del planeta.

b) Segunda Ley de Kepler

La segunda ley de Kepler puede ser demostrada mediante un argumento que utiliza la conservación del momento angular. Para ello, es necesario tener en cuenta algunas propiedades del producto vectorial de dos vectores.

c) Tercera Ley de Kepler

La demostración para órbitas elípticas utiliza la conservación del momento angular y la conservación de su energía mecánica. Para órbitas circulares, la justificación es susceptible de un sencillo tratamiento dinámico: si la órbita es circular, el planeta se mueve en torno al Sol siguiendo un MCU, donde la fuerza de atracción gravitacional es la fuerza centrípeta del movimiento.