1. Ley de Gravitación Universal

Newton estableció en su ley de gravitación universal que dos cuerpos de masas m₁ y m₂ se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros:

F = G (m₁m₂) -u_r / r²

• G es la constante de gravitación universal. Su valor no depende del medio en el que se encuentren las masas. Se trata de una fuerza no apantallable.
• El valor de G representa la fuerza con la que se atraen dos masas de 1 kg al situarlas a una distancia de 1 m una de la otra. Su valor es de 6,67∙10^-11 N∙m²/kg². El valor de esta constante es tan pequeño que a menos que una de las masas sea muy grande las fuerzas de atracción son inapreciables.
• El signo negativo de la expresión vectorial indica el carácter atractivo de las fuerzas.
• El vector u_r indica que la dirección de la fuerza es la de la recta que une las dos masas, esto es, es una fuerza central. Es una fuerza conservativa: el trabajo que realiza no depende de la trayectoria que elijamos, sino de dónde están los puntos inicial y final de dicha trayectoria (todas las fuerzas centrales son conservativas).
• Son fuerzas a distancia, no necesitan un medio material para existir.
• Las fuerzas gravitatorias siempre se presentan a pares. Si un cuerpo m₁ atrae a otro m₂ con una fuerza F, el m₂ atrae al m₁ con una fuerza que es igual en módulo y dirección pero de sentido contrario. Esto es, son fuerzas de acción y reacción.

Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme. ¿Aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido de la fuerza ejercida por el campo? ¿Y si se moviera en una dirección perpendicular a dicha fuerza? Razone las respuestas.

El campo gravitatorio es un campo conservativo. Por lo tanto, podemos calcular el trabajo que realiza la fuerza conservativa (fuerza gravitatoria) como: W = -ΔE_P

Si la partícula se mueve en la misma dirección del campo gravitatorio, la fuerza gravitatoria y el desplazamiento tienen el mismo sentido.

Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es positivo. Y el incremento de energía potencial es negativo.

Si la partícula se mueve en dirección perpendicular a la fuerza, el trabajo de dicha fuerza es nulo y la energía potencial no varía.

Características del campo gravitatorio de una masa puntual

En cada punto P del espacio, se define la intensidad de campo gravitatorio creado por una masa puntual M en dicho punto P como la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa que se situara en ese punto:

g = (G * M * -u_r) / r²

El campo gravitatorio creado por M tiene estas características:

• Es un campo vectorial y conservativo.
• Es un campo central (el signo menos nos indica que el campo gravitatorio va dirigido hacia la masa que crea el campo).
• Es directamente proporcional a la masa M que crea el campo.
• Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa la masa puntual M del punto P en el que estamos calculando el valor del campo (disminuye con el cuadrado de la distancia a M).
• En el Sistema Internacional se mide en N/kg
• La constante G es la constante de gravitación universal. Su valor es G = 6,67 ·10^-11 N m² / kg^-2 y no depende del medio en el que nos encontremos.

Dos partículas de masas m y 2m están separadas una cierta distancia. Explique qué fuerza actúa sobre cada una de ellas y cuál es la aceleración de dichas partículas.

Ambas partículas se atraen, según la ley de gravitación universal, con una fuerza:

F = G (m₁m₂) -u_r / r²

Las dos fuerzas son iguales en módulo, de la misma dirección y de sentido contrario. Y para calcular la aceleración que sufre cada partícula utilizamos la segunda ley de Newton:

F₂₁ = m₁ ∙ a₁ -> G * 2m / r²
F₁₂ = m₂ ∙ a₂ -> G * m / r²

El resultado obtenido es lógico: aunque las fuerzas son iguales en módulo, la partícula 1, al tener la mitad de masa, sufre una aceleración doble que la partícula 2.

Dibuje en un esquema las líneas del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Otra masa puntual m se traslada desde un punto A hasta otro B, más alejado de M. Razone si aumenta o disminuye su energía potencial.

Un campo vectorial se define mediante líneas de campo, que son líneas tangentes en cada punto a la magnitud vectorial que define el campo. Las líneas del campo gravitatorio creado por una masa M son las que aparecen en el dibujo:

• Su sentido de recorrido y el vector que representa el campo coinciden en cada punto.
• Son líneas abiertas.
• En cada punto de la línea el campo solo puede tener una dirección: las líneas de campo no se pueden cortar.
• La masa M es un sumidero de campo gravitatorio.
• Si el campo fuera uniforme, las líneas de campo serían rectas paralelas.
• En los puntos o zonas donde las líneas están más juntas o tienden a converger el campo es más intenso.

La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m en la posición A es el trabajo que realizaría la fuerza gravitatoria (debida al campo gravitatorio creado por M) al llevar el cuerpo desde A hasta aquel lugar en el que hemos situado el nivel 0 de energía potencial. Si elegimos este nivel 0 en el infinito, tenemos que:

E_P = –G * Mm / r

Por lo tanto, si nos alejamos de la masa que crea el campo, la energía potencial aumenta (en valor absoluto disminuye, pues dividimos entre un número mayor; pero como tiene signo negativo, debido a que hemos elegido el nivel 0 en el infinito, la energía potencial aumenta).