Lugar geométrico

Llamamos lugar geométrico al conjunto de puntos, del plano o del espacio que cumplen una determinada propiedad. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro y a la distancia se le llama radio.

Mediatriz de un segmento

Se llama mediatriz de un segmento AB a los punto del plano que equidistan de los extremos del segmento. La mediatriz será la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Para trazar la mediatriz de un segmento pincharemos con un compás en los dos extremos. Abriremos el compás más de la mitad del segmento y con esa misma abertura trazaremos dos semicírculos desde cada uno de los extremos del segmento. Uniendo los dos puntos de corte de esos semicírculos tendremos la mediatriz.

Todos los puntos de la mediatriz, equidistan de los extremos del segmento en el punto m.

Ángulos

Recordemos que un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que se cortan. Las partes de un ángulo son 2:

Cada semirrecta se llama lado, el punto donde se cortan se llama vértice y su amplitud se mide en grados o en radianes.

Bisectriz de un ángulo

Llamamos bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. La bisectriz por lo tanto divide el ángulo por la mitad.

Para trazar la bisectriz de un ángulo, trazaremos un arco pinchando en el vértice del ángulo que corte a los dos lados del mismo. Desde los puntos donde ese arco corta a los lados trazaremos sendos arcos que se cortarán a su vez en un punto. Uniendo ese punto con el vértice tendremos la recta bisectriz del ángulo.

Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C, llamado centro. A esa distancia se le denomina radio, r. Veamos a continuación cómo trazar una circunferencia, que pasa por 3 puntos no alineados.

Ángulos interiores de un polígono

Observemos que cualquier polígono con n lados se puede dividir en ( n – 2) triángulos. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180ºC, podemos afirmar:

La suma de los ángulos interiores de un polígono con n lados es ( n – 2 ) * 180.

Teorema de Tales

Calcular el teorema de Tales para dividir el siguiente segmento a, b en tres partes iguales. Procedimiento:

• Trazamos una recta auxiliar con origen en A.
• Trazamos en es recta tantos segmentos iguales como en partes queremos dividir el segmento dado.
• Unimos el extremo B con el extremo del último segmento trazado en la recta auxiliar.
• Trazando paralelas a ese último segmento desde las marcas en la recta auxiliar tendremos las divisiones del segmento a, b.

Triángulos en posición de Thales

Decimos que dos triángulos están en posición de Thales cuando tienen un ángulo en común, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Perímetro y área de figuras planas

El perímetro de una figura plana es la longitud total de su contorno. El área de una figura plana es la medida de la superficie que ocupa.

• Rectángulo: a = b * r
• Cuadrado: a = l²
• Romboide: a = b * h
• Rombo: a = D*d/2
• Trapecio: a = (B * b) / 2 *h
• Triángulo: a = b * h /2
• Polígonos rectangulares: a = polímero * apotema /2

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado limitado por polígonos. Los elementos de un poliedro son:

• Cara: cada uno de los polígonos que limita el poliedro.
• Arista: cada uno de los lados de cada cara.
• Vértice: cada uno de los vértices de cada polígono.
• Diagonal de un poliedro: segmento que uno los vértices de caras diferentes.
• Ángulo determinado: Determinado por dos caras secantes.

Decimos que un poliedro es convexo cuando tiene todos su ángulos diedros menores de 180ºC. Si algunos de sus ángulos diedros es mayor de 180ºC decimos que el poliedro es cóncavo.

En cualquier poliedro se cumple el Teorema de Euler que relaciona el N.º de caras (C) el N.º de aristas (A) y el N.º de vértices (V) mediante la siguiente fórmula C + V = A + 2.

Poliedros regulares

Decimos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Sólo hay 5 poliedros regulares llamados también sólidos platónicos, a saber: Tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.

Prismas y pirámides

Llamamos prisma a todos los poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases, y el resto de las caras llamadas caras laterales, son paralelogramos. La altura del prisma es la distancia entre los planos que contiene sus bases. Los prismas se pueden clasificar según diferentes criterios.

Una pirámide es un poliedro que tiene una cara poligonal, llamada base, junto con otras caras, las caras laterales, que son triángulos con un vértice común, llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia desde el vértice al plano que contiene a la base. Podemos clasificar la pirámides según distinto criterios.

Llamamos cuerpos de revolución a aquellos cuerpos geométricos que se generan por el giro de una figura plana alrededor de una recta llamada eje de giro. Los principales cuerpos de revolución son el cilindro, el cono y la esfera.

El área de un cuerpo geométrico es la medida de la superficie que lo delimita. Como todas las caras de un poliedro son polígonos, su área total se obtiene como suma de su área lateral y el área de sus bases. El área lateral del prisma está formado por paralelogramos y su área total se calcula sumando sus áreas.