Sea (V, k · k) un espacio lineal normado, diremos que K ⊂ V es convexo si
(1−t)x+ty ∈ K para todo x, y ∈ K y todo t ∈ [0, 1]. Notar que en un espacio
lineal normado bolas y discos son convexos: en efecto, si x, y ∈ B(z, r) entonces
k(1 − t)x + ty − zk = k(1 − t)(x − z) + t(y − z)k ≤ (1 − t)kx − zk + tky − zk <
(1 − t)r + tr = r, luego (1 − t)x + ty ∈ B(z, r) y análogamente para discos.

Espacio Proyectivo Real

Ejemplo: Sea 0 ∈ Rⁿ⁺¹ el origen de coordenadas y R₁ una relación sobre
Rⁿ⁺¹ − {0} definida por xR₁y si y sólo si existe 0 ≠ t ∈ R tal que y =
tx. Es claro que R₁ es una relación de equivalencia y llamaremos espacio
proyectivo real de dimensión n al conjunto cociente RPⁿ = Rⁿ⁺¹−{0}/R₁
con la topología identificación inducida por q₁ : Rⁿ⁺¹−{0} −→ RPⁿ.
Sea Sⁿ la esfera unidad centrada en el origen, es decir Sⁿ = {x ∈ Rⁿ⁺¹ : kxk = 1}, y sea
R₂ una relación sobre Sⁿ dada por xR₂y si y sólo si y = ±x, entonces R₂ es de
equivalencia y Sⁿ/R₂ es homeomorfo a RPⁿ: definimos f : Rⁿ⁺¹ − {0} −→ Sⁿ
por f(x) = x/kxk, f es continua y la inclusión i : Sⁿ −→ Rⁿ⁺¹−{0} es claramente
una sección de f, entonces se sigue de (3.15) que f es una identificación. Consideremos el diagrama:

Rⁿ⁺¹ − {0}
q₁

f /Sⁿ
q₂

RPⁿ
f* /Sⁿ/R₂

donde q₁ y q₂ son las respectivas identificaciones, notar que si y = tx con
t ≠ 0 entonces f(y) = y/kyk = tx/ktxk = ±x/kxk = ±f(x), es decir f conserva las
relaciones y por tanto induce una aplicación f* en los cocientes, dada por
f*([x]) = [f(x)] = [x/kxk], satisfaciendo q₂f = f*q₁, como f es identificación se
sigue de (3.18) que también f* también es una identificación. Supongamos
que f*([x]) = f*([y]), es decir [x/kxk] = [y/kyk], entonces y/kyk = ±x/kxk o bien y = tx
con t = ±kyk/kxk, luego [x] = [y], es decir f* es inyectiva y por tanto una biyección
continua. Por (3.14) se sigue que f* es un homeomorfismo.

Teorema de Espacios de Hausdorff