Unidad de Observación y Variables

En estadística, es fundamental comprender los conceptos de unidad de observación y variable:

• Unidad de observación: Cada miembro de la población o de la muestra.
• Variable: Cualquier característica que varía de una unidad de observación a otra, en la muestra o en la población.
• Dato: Cada uno de los valores que toma la variable (número, palabra, símbolo, etc.).

Ejemplo 1: Una fábrica de lácteos quiere conocer la aceptación de un nuevo yogur de soja en Posadas. Ofrecen vasitos gratuitos a 5000 personas y preguntan si les gustaría consumirlo.

Estadística Descriptiva e Inferencial

La estadística se divide en dos ramas principales:

• Estadística Descriptiva: Métodos para recolectar, presentar y caracterizar datos, describiendo las características de un conjunto de datos. Incluye técnicas de resumen y descripción de datos numéricos, mediante gráficos o cálculos.
• Estadística Inferencial: Métodos para estimar características de una población o tomar decisiones basadas en resultados de un muestreo. Permite tomar decisiones sobre una población basándose en una muestra. Utiliza estadísticos muestrales para inferir sobre los parámetros poblacionales.

Tipos de Variables

Las variables se clasifican en:

• Variables cualitativas: Definidas por clases o categorías, no se expresan numéricamente. Ejemplos: sexo, estado civil, raza, diagnóstico de un paciente.
• Variables cuantitativas: Se expresan numéricamente. Ejemplos: edad, peso, estatura, cantidad de hijos.

Gráficos para Datos Agrupados

Para datos agrupados en intervalos, se utilizan los siguientes gráficos:

• Histograma: Representación gráfica de una variable en forma de barras.
• Polígono de frecuencias: Gráfico lineal creado a partir de un histograma.
• Ojiva: Gráfico que muestra la curva de una distribución acumulativa (se usa el límite superior de cada intervalo o la marca de clase).

Medidas de Posición

Una medida de posición es un número que describe un conjunto de datos. Las más comunes son:

• Media aritmética o promedio
• Media ponderada
• Mediana
• Moda
• Deciles
• Cuartiles
• Percentiles
• Proporción

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central se ubican en el centro de la distribución, cuando esta es unimodal y la mayor concentración de datos (mayores frecuencias) ocurre alrededor de los valores centrales de la variable. Son valores que tienden a ubicarse en el centro de la distribución. Incluyen:

• Medidas construidas promediando los datos.
• Medidas basadas en un solo dato de la serie.

Ventajas y desventajas: Para la mayoría, es un concepto familiar e intuitivo. Cada conjunto de datos tiene una media única, siempre calculable, que involucra todas las observaciones. Sin embargo, puede verse afectada por valores extremos.

Percentiles y Cuartiles

Percentiles: Dividen los datos ordenados en cien partes iguales. Son útiles para ubicación y clasificación (peso, estatura, etc.). El p-ésimo percentil indica que al menos el p% de los elementos tienen ese valor o menos, y al menos el (100-p)% tiene ese valor o más.

Cuartiles: (Percentiles específicos) Dividen los datos en cuatro partes iguales.

• Q1: Primer cuartil (25% percentil): Por debajo se encuentra al menos el 25% de los datos.
• Q2: Segundo cuartil (50% percentil): Por debajo se encuentra al menos el 50% de los datos (mediana).
• Q3: Tercer cuartil (75% percentil): Por debajo se encuentra al menos el 75% de los datos.

Se utiliza la fórmula del cálculo del p-ésimo percentil para calcular los cuartiles.

Probabilidad

Existen diferentes enfoques para calcular la probabilidad:

• Probabilidad Clásica o a priori: Si en un experimento hay N resultados igualmente probables y mutuamente excluyentes, y el evento E ocurre Ne veces, P(E) = N(E)/N.
• Probabilidad según concepto de frecuencia relativa o probabilidad clásica empírica: Proporción de resultados favorables al total de resultados, basada en la repetición del experimento.
• Probabilidad Subjetiva: Posibilidad de ocurrencia asignada a un evento por una persona. Depende del grado de «crédito» que se le dé al evento. Se relaciona con eventos únicos o poco frecuentes.

Distribución Normal

La distribución normal es una de las distribuciones continuas más importantes. Su función de densidad describe una curva en forma de campana, que se ajusta a muchos fenómenos naturales. Muchas distribuciones muestrales tienden a la normalidad a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Los valores de probabilidad se obtienen mediante integrales definidas de la función de densidad continua (área bajo la curva).

Características de la curva Normal:

• Uniforme y simétrica (campana).
• Simétrica respecto a la media.
• Unimodal (1 pico de máxima frecuencia).
• La mediana, media y moda coinciden.
• El área total bajo la curva representa el total de datos.

Distribuciones de Probabilidad de Variables Aleatorias Discretas

Algunas distribuciones importantes son:

• Distribución Binomial
• Distribución Hipergeométrica
• Distribución de Poisson

Distribución Binomial: Ligada al experimento de Bernoulli (1654-1705).

Ensayo de Bernoulli: Experimento aleatorio con dos resultados mutuamente excluyentes e independientes: éxito o fracaso. Los ensayos de Bernoulli dan origen a una variable aleatoria que toma dos valores: X = 0 (fracaso) o X = 1 (éxito) con probabilidades.

Distribución Hipergeométrica: Se diferencia de la binomial en que la población es finita y se muestrea sin reemplazo, lo que afecta la probabilidad de éxito en cada observación. Además de tener una población finita y un muestreo sin reemplazo, la población estará dividida en dos grupos de individuos u objetos. Características que definen una variable aleatoria H: El experimento consiste en extraer al azar y sin reposición r elementos en la población de tamaño N que se identifican como éxitos y N-r de los cuales se identifican como fracasos. La probabilidad de éxito no permanece constante. Las pruebas no son independientes. La variable aleatoria hipergeométrica es el número de resultados éxitos en una muestra de n elementos.

Distribución de Poisson: Aplicable a procesos donde ocurren sucesos por unidad de tiempo, espacio, volumen, etc. Ej: número de accidentes por semana, personal que llega a un banco, errores por página. Da solución a problemas sobre el número de éxitos esperados por unidad de tiempo, espacio, volumen o área, similar a la binomial.

Análisis de Correlación

El análisis de correlación evalúa la relación entre dos variables. La ecuación de regresión predice el valor de Y dado un valor de X. El coeficiente de correlación (r) mide la proximidad de los puntos del diagrama de dispersión a la recta de regresión, o la fidelidad con que la recta describe la relación entre las variables.

La evaluación de la ecuación de regresión permite medir la bondad de ajuste de esta ecuación a los valores observados, es decir garantizara el uso de esta ecuación para predecir el valor probable de y correspondiente a un valor dado de x.

• Un coeficiente de correlación grande (cercano a 1 en valor absoluto) indica una gran concentración de puntos alrededor de la recta.
• Un coeficiente de correlación pequeño (cercano a 0) indica mayor dispersión.

Ejemplos:

• r = 0.85: Relación lineal positiva (directa) y fuerte.
• r = 0.32: Relación lineal positiva (directa) y débil (poca correlación lineal).
• r = -0.79: Relación lineal negativa (inversa) y fuerte.
• r = -0.16: Relación lineal negativa (inversa) y débil (poca correlación lineal).

Coeficiente de Determinación (r2): Indica el porcentaje de variación de Y explicado por X en la recta de regresión. Se calcula elevando al cuadrado el coeficiente de correlación.

• r2 = 0.98: El 98% de la variación de Y es explicada por X.
• r2 = 0.29: El 29% de la variación de Y es explicada por X.