Espacios Vectoriales

Sea E un conjunto de elementos a los que llamamos vectores y que representaremos por x, y, z… Sea K un cuerpo conmutativo cuyos elementos llamaremos escalares y que representamos como α, β, γ… Diremos que E es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, lo que se simboliza por E(K), cuando están definidas dos operaciones, la interna y la externa, que tienen las siguientes propiedades:

• Interna (Suma de vectores):
  • Conmutativa
  • Asociativa
  • Existencia de elemento neutro
  • Existencia de elemento opuesto
• Externa (Producto por un escalar):
  • Asociación mixta
  • Elemento neutro de la ley externa
  • Distributiva respecto a la suma de vectores
  • Distributiva respecto a la suma de escalares

Subespacios Vectoriales

Sea F un subconjunto no vacío de un espacio vectorial E(K). Diremos que F es un subespacio de E(K) si a su vez F es un espacio vectorial respecto de las leyes de composición de E(K). Sea E(K) un espacio vectorial sobre K (cuerpo de escalares) y sea F un subconjunto de E, entonces se dice que F es un subespacio de E(K) si y solo si las leyes de composición definidas en E(K) son cerradas en F. Es decir que, (x + y pertenecen a F, y λ · x pertenece a F).

Base de un Espacio Vectorial

Sea E un espacio vectorial sobre K y S = (e₁, e₂…) un conjunto de vectores con e_i pertenecientes a E. Los vectores de S forman una base de E si:

1. Son linealmente independientes (LI).
2. Forman un sistema generador de E, lo que expresaremos como B_e = (e₁, e₂…).

Dimensión de un Espacio Vectorial

Llamamos dimensión de un espacio (o subespacio) E al número de vectores de una cualquiera de sus bases. Se expresa como: dim E = n, dim F = r, con r ≤ n.

Coordenadas de un Vector Respecto a una Base

Sea E un espacio vectorial sobre K y B = (e_n) una base de E y sea x perteneciente a E. Se llaman coordenadas de un vector x perteneciente a E respecto de la base B a los escalares x₁, x₂… x_i pertenecientes a K tales que: x = x₁e₁ + … = (x₁, x₂…)_B

Suma e Intersección de Subespacios

Sea E un espacio vectorial sobre K y F₁ y F₂ dos subespacios de E. Se definen a partir de ellos dos nuevos subespacios que llamaremos “intersección” y “suma” y que se definen:

• Intersección (Int): x ∈ E / x ∈ F₁ y x ∈ F₂
• Suma (+): x ∈ E / x = x₁ + x₂, x₁ ∈ F₁, x₂ ∈ F₂

Aplicaciones Lineales

Sean E y F dos espacios vectoriales sobre K (cuerpo de escalares) y sea f: E → F una aplicación, entonces se dice que f es una aplicación lineal si y solo si: f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λ · f(x).

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Dado el homomorfismo f: E → F definimos los siguientes subespacios:

• Núcleo de f = Ker(f): {x ∈ E / f(x) = 0_F}
• Imagen de f = Im(f): {y ∈ F / ∃ x ∈ E con y = f(x)}

Siempre se verifica que dim E = dim Ker(f) + dim Im(f).

Autovalores y Autovectores

Sea E un espacio vectorial sobre K (cuerpo de escalares, que habitualmente será K = ℝ) y sea f: E → E un endomorfismo, es decir f ∈ End(E). Decimos que λ ∈ ℝ es autovalor de f si existe algún vector v ≠ 0, con v ∈ E, tal que f(v) = λ · v. Al vector v ∈ E que cumple la propiedad anterior se le llama autovector de f.

Subespacio Propio

Dado un endomorfismo f: E → E, definimos el subespacio propio S_λ = {v ∈ E / f(v) = λv}. La dimensión de un subespacio propio es siempre mayor o igual que uno y menor o igual que el orden de multiplicidad del autovalor λ. Existe λ ∈ ℝ → 1 ≤ dim S_λ ≤ m. Si un autovalor es simple, la dimensión del subespacio propio asociado a dicho autovalor es siempre 1. Si λ es simple → dim S_λ = 1.

Matrices y Aplicaciones Lineales

Transformamos mediante f los vectores de la base del espacio inicial y expresamos el resultado en combinación lineal de los vectores de la base del espacio final. El resultado de la combinación lineal anterior (que son las coordenadas de los transformados de los vectores de B respecto de la base B’) son las columnas de la matriz asociada de la aplicación f.

Tipos de Aplicaciones Lineales

• Monormorfismo (Inyectiva)
• Epimorfismo (Sobreyectiva, suprayectiva, exhaustiva)
• Isomorfismo (Biyectiva)
• Endomorfismo (E=F)
• Automorfismo (Endomorfismo biyectivo)