Conceptos básicos de ángulos y polígonos: Tipos, medición y propiedades
Concepto de ángulo
El ángulo está determinado por dos rayos, segmentos o rectas, que tienen un origen en común llamado vértice del ángulo. Por lo que una definición más precisa es la unión de dos lados, rayos o segmentos, que coinciden en un extremo (punto de intersección o vértice). En los primeros años de educación, la atención se enfoca en el atributo de la medida de la abertura en un ángulo, debido a que esta ayuda a tener una primera noción intuitiva de cómo podemos medir un ángulo.
Medición de ángulos a través de giros
El concepto de giros, rotación o vueltas, se puede medir y estimar la medida de múltiples ángulos, además esta es una forma de medir estandarizada, como por ejemplo: 1/4 vuelta (90°) 2/4 vuelta (180°). El ángulo también es conocido como la “abertura” que se forma entre dos rayos con un origen en común y también es llamado como región angular. Además, el ángulo también se puede entender como el giro o rotación en torno a un punto fijo, que se produce cuando uno de los rayos cambia de orientación. En los primeros años de educación, la atención se enfoca en el atributo de la medida de la abertura en un ángulo, debido a que esta ayuda a tener una primera noción intuitiva de cómo podemos medir un ángulo. 3/4 vuelta (270°) 1 vuelta (360°)
Unidades de medida de ángulos
Una forma de medir los ángulos es con una unidad de medida habitual, que son los grados sexagesimales (360°), cada subdivisión se le conoce como 1 grado. También está la unidad de medida menos común, que son los grados centesimales (400), cada subdivisión se le conoce como 1 grado centesimal, 1 gradián o 1 gon. La unidad estandarizada que se usa en el sistema internacional de medidas para los ángulos no es ninguna de las dos, es otra que se llama radián. Su definición es la longitud del arco de un círculo entre el radio, un radián equivale a 180°/π= 57,295°. Entonces para hacer una circunferencia completa, mide más de 6 radianes pero menos de 7, siendo más exactos mide 2π radianes (6,2832).
Tipos de ángulos
Agudo: es un ángulo que mide menos de 90°. Recto: es un ángulo que mide exactamente 90°. Obtuso: es un ángulo mayor a 90° y menor a 180°. Extendido o llano: es un ángulo que mide exactamente 180°. Completo: es un ángulo que mide exactamente 360°. Suplementarios: es la suma de dos ángulos que dan como resultado 180°. Complementarios: es la suma de dos ángulos que dan como resultado 90°. Opuesto por el vértice: solo comparten el vértice, por lo que sus lados no coinciden, pero tienen la misma medida.
Suma de ángulos interiores de polígonos
Son los ángulos que quedan al interior de su contorno, alrededor de cada uno de sus vértices. Si un polígono tiene N lados, entonces tendrá N vértices, por lo tanto, tendrá N ángulos interiores. Una forma para encontrar el total de la suma de los ángulos interiores es dividir el polígono en triángulos, ya que como sabemos la suma de sus ángulos interiores es de 180°, pero al momento de trazar las rectas estas no se pueden interseccionar, además que deben partir por el vértice del polígono, por lo general se escoge un vértice y desde ese se hacen las diagonales, sobran dos puntos.
Logrando encontrar 4 triángulos en un hexágono irregular, por lo que un procedimiento para saber de forma sencilla la suma total de sus ángulos interiores es contar la cantidad de los triángulos encontrados y multiplicarlo por 180°, quedando de esta forma para este caso: 4×180°= 720°.
Una forma errónea de hacer esto, es la siguiente: Esto debido que al trazar las rectas, todas se interseccionan al centro del hexágono regular, creando nuevos ángulos y alterando la suma total de los ángulos interiores, quedando de esta forma: 6×180°= 1080°. Visto esto, si se requiere una forma más precisa ante un problema, existe una fórmula para encontrar el resultado total de los ángulos interiores, que es (N-2) x 180°.
no se debe hacer:
Esto debido que al trazar las rectas, todas se interseccionan al centro del hexágono regular, creando nuevos ángulos y alterando la suma total de los ángulos interiores, quedando de esta forma: 6×180°= 1080°.
Ejemplos de suma de ángulos interiores según el número de lados
Número de lados: Suma ángulos interiores:
3 (3-2) x180°= 180° / 5 (5-2) x180°= 540°
4 (4-2) x180°= 360° / 6 (6-2) x180°= 720°
Suma de ángulos exteriores en un polígono regular
Como sabemos que la suma siempre es igual a 360°, podemos dividir N lados para obtener la medida de los ángulos individuales, ejemplo:
Podemos ver que su número de lados es 3, así que procedemos a dividir 360° en 3 partes iguales, dando como resultado 120° (360°÷ N lados).
Suma de ángulos exteriores de un polígono irregular
Una forma es conociendo la medida de los ángulos interiores, para así encontrar la medida de su ángulo exterior, para esto debemos conocer que la suma de un ángulo interior y exterior es igual a 180°. Por lo que podemos restar el ángulo interior de 180°, ejemplo:
Quedaría de la siguiente manera: 180°-50°= 130° 180°-100°= 80° 180°-30°= 150°
Dificultades y errores frecuentes en el aprendizaje de ángulos
- Existen estudiantes que identifican como mayores a los ángulos con segmentos más extensos.
- Hay estudiantes que asocian la medida del ángulo con: -La longitud de los segmentos que los componen -El área que está entre los segmentos
- Algunos estudiantes consideran que para que 2 segmentos sean paralelos, deben tener siempre igual longitud.
- No visualizar todos los ángulos de una figura o polígono
- Otro posible error sería que el estudiante al momento de tener que medir un ángulo mida de la forma errónea, o se equivoque al visibilizar los números que tiene el transportador
- El error está en no comprender que el transportador tiene dos graduaciones, interna y otra externa
- No reconocer los distintos polígonos si aquellos cambian de ubicación, ya sea rotación, traslación o reflexión, debido a la recurrente representación de una determinada ubicación o posición de un polígono
- No reconocer los distintos polígonos si aquellos cambian de ubicación, ya sea rotación, traslación o reflexión, debido a la recurrente representación de una determinada ubicación o posición de un polígono
Suma de ángulos exteriores de polígonos
Los ángulos exteriores de un polígono son aquellos que se forman entre los lados, tomando un lado y extendiéndolo fuera de su contorno, de este modo formándose un ángulo exterior a la figura o polígono. Hay que recalcar que la suma de cualquier polígono siempre será igual a 360°.
Tipos de polígonos según la medida de sus ángulos interiores
Convexo: Son aquellos en que todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.
No convexo: Son aquellos en los que uno o más ángulos interiores miden más de 180°.
Una idea es que con los giros al recorrer el borde del polígono, podemos definir un polígono convexo como un polígono donde todos los giros del recorrido son en la misma dirección.
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Otra forma de medir los ángulos es con una unidad de medida habitual, que son los grados sexagesimales (360°), cada subdivisión se le conoce como 1 grado - También está la unidad de medida menos común, que son los grados centesimales (400), cada subdivisión se le conoce como 1 grado centesimal, 1 gradián o 1 gon.
- La unidad estandarizada que se usa en el sistema internacional de medidas para los ángulos no es ninguna de las dos, es otra que se llama radián. Su definición es la longitud del arco de un círculo entre el radio, un radián equivale a 180°/π= 57,295°