Vigas Prismáticas

Una viga prismática es el sólido generado por una figura geométrica plana, denominada generatriz, que se desplaza de forma que su centro de gravedad describe una curva plana denominada directriz, manteniéndose perpendicular a ella.

Hipótesis Fundamentales en el Estudio de Piezas Prismáticas

1. Los elementos a utilizar son lineales, es decir, elementos en los que una de las dimensiones es mucho mayor que las otras dos, y estas no son a su vez muy distintas entre sí.
2. La directriz es una curva plana, con radio de curvatura mucho mayor que las dimensiones transversales de la generatriz.
3. La sección de la generatriz puede ser constante o variable, pero sus cambios deben ser lentos y suaves, no bruscos.
4. Se prescinde de los efectos locales provocados por concentraciones de cargas en una longitud pequeña de la pieza. Aunque los puntos indicados están sometidos a distintas tensiones, esta hipótesis los configura con la misma tensión.
5. Las secciones planas normales a la directriz permanecen planas después de la deformación.

Ejes Locales

El eje x es tangente a la directriz y perpendicular a la generatriz, mientras que los ejes z e y están contenidos en la generatriz. Si tomamos una porción de pieza comprendida entre dos secciones infinitamente próximas:

• A cada cara de la porción se la llama sección.
• A la porción entre dos secciones infinitamente próximas se le llama rebanada.

Normalmente leemos de izquierda a derecha. Los extremos de la pieza son el dorsal y el frontal.

Reducción Canónica

Cualquier sistema de fuerzas se puede reducir a dos fuerzas en un punto:

1. La suma vectorial de todas las fuerzas.
2. La suma de los vectores momentos que producen las fuerzas en el punto.

Estas dos fuerzas iguales y contrarias, perpendiculares a la sección, son el esfuerzo axil que intenta separar las secciones. Este par de fuerzas iguales y en sentido contrario, actuando contenidas en la sección, se denominan cortante. Las proyecciones de M sobre x son perpendiculares a la sección. Provocan que una sección gire en torno a la otra. Se denomina torsor. Las proyecciones de M sobre la sección son dos fuerzas iguales y con sentido contrario, intentando que una sección gire respecto a la otra. Se denomina flector.

Planteamiento General de la Pieza Elástica

1. Definida su forma, material y las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga, es preciso saber las reacciones en los vínculos exteriores de las vigas, pudiendo ser un problema estático o elástico.
2. Determinar los esfuerzos en cada una de las secciones, bien de forma continua o en diagramas a lo largo de la directriz.
3. A partir de los esfuerzos, determinar la distribución de tensiones en cada sección.
4. Verificar si las tensiones son admisibles para el material que conforma la pieza.
5. Verificar si las deformaciones son compatibles con las hipótesis de cálculo y si son excesivas.

Diagrama de Esfuerzos

1. Determinar la dirección y sentido de las reacciones.
2. Los diagramas de cortantes correspondientes a cargas puntuales son rectas paralelas a la directriz; en los puntos donde hay cargas puntuales aplicadas, el diagrama de cortante experimenta un salto de valor igual al valor de la carga.
3. Los diagramas de flectores correspondientes a cargas puntuales son rectas inclinadas que presentan puntos angulosos en las secciones donde están aplicadas las cargas.
4. El cortante es la derivada del momento flector, que gráficamente significa que en la ley de momentos flectores la pendiente es el cortante y la pendiente del cortante es la densidad de carga.
5. Si la carga es uniforme, el diagrama de cortante es una recta inclinada y el diagrama de flectores será una parábola de segundo grado.
6. Si el diagrama de carga es triangular, el diagrama de cortante es una parábola de segundo grado y el diagrama de flectores una parábola de tercer grado.
7. Si existen momentos aplicados, el diagrama de flectores experimenta un salto de valor igual al momento aplicado.
8. Los diagramas de flectores correspondientes a estructuras simétricas son simétricos, y los cortantes antisimétricos. Por el contrario, si los diagramas de flectores corresponden a una estructura antisimétrica, son antisimétricos y los cortantes simétricos.

Relación entre Cortante y Momento Flector

Sea una estructura plana sometida a esfuerzos que se encuentran en el mismo plano que la estructura. En ese caso, no se producirán nunca momentos torsores. Estamos en un contexto de geometría diferencial, por tanto se desprecian los infinitésimos de segundo orden (dx.dy=0; dx²=0).

Tomemos una rebanada de la mencionada estructura y analicemos los esfuerzos a ambos lados de la rebanada:

ΣMA=0 M+(T+dT)dx-qdx*dx/2-M-dM=0 Tdx+dTdx-q*dx²/2-dM=0 dTdx-q*dx²/2 se desprecian Tdx=dM –> T=dM/dx

Por tanto, se deduce que el cortante es igual a la derivada del momento flector. Como la derivada de una curva es la pendiente, tenemos que el cortante es la pendiente del flector.

Por otro lado, la distribución de cargas es igual a la derivada del cortante respecto a x:

Σy=0 -q*dx-T+T+dt=0 q=dT/dx; T=dM/dx. La pendiente es la tangente del ángulo que forma con el eje x ax+by=1 m=-b/a

Me = momento estático de una superficie respecto a un punto es el producto del área por la distancia al eje.

I = momento de inercia de una superficie respecto a un punto es el producto de la superficie por la distancia al cuadrado.

Tipos de Flexión

• Flexión Pura: Solo soporta un flector. Se trata de un estado ideal.
• Flexión Simple: Soporta al menos un cortante y un flector.
• Flexión Compuesta: …

Flexión Pura

El plano que contiene esta fibra es el plano neutro y el otro es el eje neutro, que es la frontera entre las fibras que se alargan y las que se acortan. Fibras neutras (ni se alargan ni se acortan).

Principio de Bernoulli

Establece que en la flexión pura toda sección plana perpendicular a la directriz permanece plana después de la deformación y experimenta un giro en torno al eje neutro, que funciona como charnela.

E= módulo de elasticidad o módulo de Young. tgα = σ/ε σ=E*ε σ=E*k*y=k`*y. La deformación es proporcional al eje neutro.

Las tensiones normales se representan así:

Me=0. Esto implica que el momento estático o eje neutro pasa por el centro de gravedad.

Mediante el teorema de Steiner obtenemos la inercia:

Flexión Simple

Tenemos una rebanada sometida a un cortante y a un flector.