1.1 Introducción

Supongamos que nos enfrentamos a un problema como este: Una empresa que cuenta con 150 empleados, desea establecer una estadística sobre los salarios de sus empleados, y quiere saber cuál es el salario promedio, y también cuántos de sus empleados ganan entre $1250.00 y $2500.00.

Si tomamos la decisión de tratar este tipo de problemas con datos simples, pronto nos percataríamos del enorme desperdicio de tiempo, almacenamiento y velocidad. Es por eso que para situaciones de este tipo la mejor solución son los datos estructurados.

Un arreglo puede definirse como un grupo o una colección finita, homogénea y ordenada de elementos. Los arreglos pueden ser de los siguientes tipos:

• De una dimensión.
• De dos dimensiones.
• De tres o más dimensiones.

1.2 Arreglos Unidimensionales

Un arreglo unidimensional es un tipo de datos estructurado que está formado de una colección finita y ordenada de datos del mismo tipo. Es la estructura natural para modelar listas de elementos iguales.

El tipo de acceso a los arreglos unidimensionales es el acceso directo, es decir, podemos acceder a cualquier elemento del arreglo sin tener que consultar a elementos anteriores o posteriores, esto mediante el uso de un índice para cada elemento del arreglo que nos da su posición relativa.

Para implementar arreglos unidimensionales se debe reservar espacio en memoria, y se debe proporcionar la dirección base del arreglo, la cota superior y la inferior.

REPRESENTACION EN MEMORIA

Los arreglos se representan en memoria de la forma siguiente:

x : array[1..5] of integer

Para establecer el rango del arreglo (número total de elementos) que componen el arreglo se utiliza la siguiente fórmula:

RANGO = Ls – (Li+1)

donde:

• ls = Límite superior del arreglo
• li = Límite inferior del arreglo

Para calcular la dirección de memoria de un elemento dentro de un arreglo se usa la siguiente fórmula:

A[i] = base(A) + [(i-li) * w]

donde :

• A = Identificador único del arreglo
• i = Índice del elemento
• li = Límite inferior
• w = Número de bytes tipo componente

Si el arreglo en el cual estamos trabajando tiene un índice numerativo utilizaremos las siguientes fórmulas:

RANGO = ord (ls) – (ord (li)+1)

A[i] = base (A) + [ord (i) – ord (li) * w]

1.3 Arreglos Bidimensionales

Este tipo de arreglos al igual que los anteriores es un tipo de dato estructurado, finito ordenado y homogéneo. El acceso a ellos también es en forma directa por medio de un par de índices.

Los arreglos bidimensionales se usan para representar datos que pueden verse como una tabla con filas y columnas. La primera dimensión del arreglo representa las columnas, cada elemento contiene un valor y cada dimensión representa una relación

La representación en memoria se realiza de dos formas: almacenamiento por columnas o por renglones.

Para determinar el número total de elementos en un arreglo bidimensional usaremos las siguientes fórmulas:

RANGO DE RENGLONES (R1) = Ls1 – (Li1+1)

RANGO DE COLUMNAS (R2) = Ls2 – (Li2+1)

No. TOTAL DE COMPONENTES = R1 * R2

REPRESENTACION EN MEMORIA POR COLUMNAS

x : array [1..5,1..7] of integer

Para calcular la dirección de memoria de un elemento se usan la siguiente fórmula:

A[i,j] = base (A) + [((j – li2) R1 + (i + li1))*w]

REPRESENTACION EN MEMORIA POR RENGLONES

x : array [1..5,1..7] of integer

Para calcular la dirección de memoria de un elemento se usan la siguiente fórmula:

A[i,j] = base (A) + [((i – li1) R2 + (j + li2))*w]

donde:

• i = Índice del renglón a calcular
• j = Índice de la columna a calcular
• li1 = Límite inferior de renglones
• li2 = Límite inferior de columnas
• w = Número de bytes tipo componente

1.4 Arreglos Multidimensionales

Este también es un tipo de dato estructurado, que está compuesto por n dimensiones. Para hacer referencia a cada componente del arreglo es necesario utilizar n índices, uno para cada dimensión

Para determinar el número de elementos en este tipo de arreglos se usan las siguientes fórmulas:

RANGO (Ri) = lsi – (lii + 1)

No. TOTAL DE ELEMENTOS = R1 * R2* R3 * …* Rn

donde:

• i = 1 … n
• n = No. total de dimensiones

Para determinar la dirección de memoria se usa la siguiente fórmula:

LOC A[i1,i2,i3,…,in] = base(A) + [(i1-li1)*R3*R4*Rn + (i2-li2)*R3*R2*… (in – lin)*Rn]*w

1.5 Operaciones Con Arreglos

Las operaciones en arreglos pueden clasificarse de la siguiente forma:

• Lectura
• Escritura
• Asignación
• Actualización
• Ordenación
• Búsqueda

a) LECTURA

Este proceso consiste en leer un dato de un arreglo y asignar un valor a cada uno de sus componentes.

La lectura se realiza de la siguiente manera:

para i desde 1 hasta N haz
x <– arreglo[i]

b) ESCRITURA

Consiste en asignarle un valor a cada elemento del arreglo.

La escritura se realiza de la siguiente manera:

para i desde 1 hasta N haz
arreglo[i] <– x

c) ASIGNACION

No es posible asignar directamente un valor a todo el arreglo, por lo que se realiza de la manera siguiente:

para i desde 1 hasta N haz
arreglo[i] <– algún_valor

d) ACTUALIZACION

Dentro de esta operación se encuentran las operaciones de eliminar, insertar y modificar datos. Para realizar este tipo de operaciones se debe tomar en cuenta si el arreglo está o no ordenado.

Para arreglos ordenados los algoritmos de inserción, borrado y modificación son los siguientes:

1.- Insertar.

Si i < mensaje(arreglo contrario caso En arreglo[i] <– valor
i <– i+1 entonces

2.- Borrar.

Si N>=1 entonces
inicio
i <– 1
encontrado <– falso
mientras i<=n y encontrado=falso
inicio
si arreglo[i]=valor_a_borrar entonces
inicio
encontrado <– verdadero
N <– N-1
para k desde i hasta N haz
arreglo[k] <– arreglo[k-1]
fin
en caso contrario
i <– i+1
fin
fin
Si encontrado=falso entonces
mensaje (valor no encontrado)

3.- Modificar.

Si N>=1 entonces
inicio
i <– 1
encontrado <– falso
mientras i<=N y encontrado=false haz
inicio
Si arreglo[i]=valor entonces
arreglo[i] <– valor_nuevo
encontrado <– verdadero
En caso contrario
i <– i+1
fin
fin

1.6 Matriz Poco Densa Regular

Una matriz poco densa es aquella que está formada por elementos que en su mayoría son ceros. Este tipo de matrices son matrices cuadradas que se dividen en los siguientes tipos:

• Matriz triangular superior
• Matriz triangular inferior
• Matriz tridiagonal

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

En este tipo de matriz los elementos iguales a cero se encuentran debajo de la diagonal principal. Ejemplo:

[Imagen de una matriz triangular superior]

Para evitar el desperdicio de memoria que se ocasionaría al almacenar una matriz en donde la mayoría de los elementos son ceros, es conveniente traspasar a un arreglo unidimensional todos los elementos diferentes de cero.

El arreglo con los elementos distintos de cero de la matriz anterior es el siguiente:

[Imagen de un arreglo unidimensional]

Una vez que hallamos vaciado la matriz, es indispensable conocer el lugar dentro del arreglo unidimensional en el cual quedaron situados los elementos, y esto se logra con la siguiente fórmula:

LOC(A[i,j])=base(A) + (n*(i-1)) – ((i-2)*(i-1))/2 + (j-1)

donde:

• A=Matriz triangular superior
• n=No. total de elementos
• j= renglones
• i=columnas

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

En este tipo de matrices los elementos iguales a cero se encuentran por encima de la diagonal principal. Ejemplo:

[Imagen de una matriz triangular inferior]

Una vez que vaciamos la matriz en un arreglo unidimensional, la fórmula para obtener las posiciones de los elementos es la siguiente:

LOC(A[i,j])=base(A) + ((i-1)*i)/2 + (j-1)

MATRIZ TRIDIAGONAL

En ésta, los elementos diferentes de cero se encuentran en la diagonal principal ó en las diagonales por debajo ó encima de ésta. Ejemplo:

[Imagen de una matriz tridiagonal]

Y el arreglo con los elementos diferentes de cero correspondiente a esta matriz es el siguiente:

[Imagen de un arreglo unidimensional]

La localización de los elementos distintos de cero en el arreglo unidimensional se realiza aplicando la siguiente fórmula:

LOC(A[i,j])=base(A) + 2*i + (j-3)

1.7 Ordenaciones en Arreglos

La importancia de mantener nuestros arreglos ordenados radica en que es mucho más rápido tener acceso a un dato en un arreglo ordenado que en uno desordenado.

Existen muchos algoritmos para la ordenación de elementos en arreglos, enseguida veremos algunos de ellos.

a) Selección Directa

Este método consiste en seleccionar el elemento más pequeño de nuestra lista para colocarlo al inicio y así excluirlo de la lista.

Para ahorrar espacio, siempre que vayamos a colocar un elemento en su posición correcta lo intercambiaremos por aquel que la esté ocupando en ese momento.

El algoritmo de selección directa es el siguiente:

i <- 1
mientras i<= N haz
    min <- i
    j <- i + 1
    mientras j <= N haz
        si arreglo[j] < [min] entonces
            min <- j
        j <- j + 1
    intercambia(arreglo[min],arreglo[i])
    i <- i +1

b)Ordenación por Burbuja

Es el método de ordenación más utilizado por su fácil comprensión y programación, pero es importante señalar que es el más ineficiente de todos los métodos.

Este método consiste en llevar los elementos menores a la izquierda del arreglo ó los mayores a la derecha del mismo. La idea básica del algoritmo es comparar pares de elementos adyacentes e intercambiarlos entre sí hasta que todos se encuentren ordenados.

i <- 1
mientras i < N haz
    j <- N
    mientras j > i haz
        si arreglo[j] < arreglo[j-1] entonces
            intercambia(arreglo[j],arreglo[j-1])
        j < j – 1
    i <- i +1

c)Ordenación por Mezcla

Este algoritmo consiste en partir el arreglo por la mitad, ordenar la mitad izquierda, ordenar la mitad derecha y mezclar las dos mitades ordenadas en un array ordenado. Este último paso consiste en ir comparando pares sucesivos de elementos (uno de cada mitad) y poniendo el valor más pequeño en el siguiente hueco.

procedimiento mezclar(dat,izqp,izqu,derp,deru)
inicio
    izqa <- izqp
    dera <- derp
    ind <- izqp
    mientras (izqa <= izqu) y (dera <= deru) haz
        si arreglo[izqa] < dat[dera] entonces
            temporal[ind] <- arreglo[izqa]
            izqa <- izqa + 1
        en caso contrario
            temporal[ind] <- arreglo[dera]
            dera <- dera + 1
        ind <- ind +1
    mientras izqa <= izqu haz
        temporal[ind] <- arreglo[izqa]
        izqa <- izqa + 1
        ind <- ind +1
    mientras dera <= deru haz
        temporal[ind] <= dat[dera]
        dera <- dera + 1
        ind <- ind + 1
    para ind <- izqp hasta deru haz
        arreglo[ind] <- temporal[ind]
fin

1.8 Búsquedas en Arreglos

Una búsqueda es el proceso mediante el cual podemos localizar un elemento con un valor específico dentro de un conjunto de datos. Terminamos con éxito la búsqueda cuando el elemento es encontrado.

A continuación veremos algunos de los algoritmos de búsqueda que existen.

a)Búsqueda Secuencial

A este método también se le conoce como búsqueda lineal y consiste en empezar al inicio del conjunto de elementos, e ir a través de ellos hasta encontrar el elemento indicado ó hasta llegar al final del arreglo.

Este es el método de búsqueda más lento, pero si nuestro arreglo se encuentra completamente desordenado es el único que nos podrá ayudar a encontrar el dato que buscamos.

ind <- 1
encontrado <- falso
mientras no encontrado y ind < N haz
    si arreglo[ind] = valor_buscado entonces
        encontrado <- verdadero
    en caso contrario
        ind <- ind +1

b)Búsqueda Binaria

Las condiciones que debe cumplir el arreglo para poder usar búsqueda binaria son que el arreglo este ordenado y que se conozca el número de elementos.

Este método consiste en lo siguiente: comparar el elemento buscado con el elemento situado en la mitad del arreglo, si tenemos suerte y los dos valores coinciden, en ese momento la búsqueda termina. Pero como existe un alto porcentaje de que esto no ocurra, repetiremos los pasos anteriores en la mitad inferior del arreglo si el elemento que buscamos resultó menor que el de la mitad del arreglo, o en la mitad superior si el elemento buscado fue mayor.

La búsqueda termina cuando encontramos el elemento o cuando el tamaño del arreglo a examinar sea cero.

encontrado <- falso
primero <- 1
ultimo <- N
mientras primero <= ultimo y no encontrado haz
    mitad <- (primero + ultimo)/2
    si arreglo[mitad] = valor_buscado entonces
        encontrado <- verdadero
    en caso contrario
        si arreglo[mitad] > valor_buscado entonces
            ultimo <- mitad – 1
        en caso contrario
            primero <- mitad + 1

c)Búsqueda por Hash

La idea principal de este método consiste en aplicar una función que traduce el valor del elemento buscado en un rango de direcciones relativas. Una desventaja importante de este método es que puede ocasionar colisiones.

funcion hash (valor_buscado)
inicio
    hash <- valor_buscado mod numero_primo
fin

inicio <- hash (valor)
il <- inicio
encontrado <- falso
repite
    si arreglo[il] = valor entonces
        encontrado <- verdadero
    en caso contrario
        il <- (il +1) mod N
hasta encontrado o il = inicio