EJ3) Estudio de la Producción de Champiñones

Dentro de un estudio sobre los factores que permiten una mejora de la producción del champiñón, se está considerando el posible efecto que tiene sobre el rendimiento del cultivo (Kg/m²) la relación carbono/nitrógeno (C/N) del sustrato artificial utilizado, así como el efecto del empleo de dos posibles tratamientos (A y B) en la fase de eliminación de contaminantes.

a) Modelo de Rendimiento del Cultivo

Proponer un modelo que recoja una situación donde el efecto de la relación C/N sobre el rendimiento del champiñón pueda ser no lineal y depender del tratamiento de eliminación de contaminantes empleado. Definir con claridad las variables que aparecen en el modelo e interpretar todos los parámetros que aparecen en el mismo

E(Rto.)= B₀+B₁C/N+B₂C/N²+B₃M+B₄C/M+B₅C/N²*M…..Rto: Rendimiento del cultivo (Variable respuesta)….C/N: Relación carbono-nitrógeno del sustrato (Variable explicativa) ….M: Método de descontaminación (M=0, si se trata del método A, M=1, si se trata del método B (Variable explicativa))

E(Rto./A)=
B₀ + B₁C/N + B₂ C/N²
E(Rto./B)= (B₀+B₃)+ (B₁ +B₄ )C/N +( B₂ + B₅) C/N²

B₀ = Rendimiento medio cuando la relación C/N es 0 y utilizamos el método de descontaminación A.

B₁= Incremento de rendimiento medio cuando C/N pasa de 0 a 1 y utilizamos el método de descontaminación A.

B₂= Curvatura de la relación entre el rendimiento medio y la relación C/N cuando se utiliza el método de descontaminación A

B₃ = Diferencia de rendimiento medio cuando la relación C/N es 0, entre el método de descontaminación B y el A.

B₄ = Diferencia de Incremento de rendimiento medio cuando C/N pasa de 0 a 1, entre el método de descontaminación B y el A.

B₅ = Diferencia de curvatura de la relación entre el rendimiento medio y la relación C/N entre el método de descontaminación B y el A.

b) Estudio de Regresión

Se ha realizado un estudio de regresión relacionando la producción de 66 bandejas con distintas relaciones C/N y bajo dos sistemas de eliminación de contaminantes, obteniéndose la salida siguiente del Statgraphics (las interacciones entre el método de eliminación y la relación C/N salieron no significativas y se han eliminado del modelo):

b.1. Significancia de los Términos del Modelo

Estudiar si los 3 términos que se han dejado en el modelo resultan ahora significativos, para un riesgo de 1ª especie del 5%.

Si el efecto de una variable es nulo B_i=0 , entonces b_i–β_i/s_bi≈ t_glres

Como b_i/s_bi: Para C/N =6,523 > 2 = T₆₂α=0,05 significativo….. Para C/N²=-8,756> 2 = T₆₂α=0,05 significativo…. Para Tb=0,2787< 2 = T₆₂α=0,05 N.S

b.2. Relación C/N Óptima

Tomando en consideración solamente los términos que resultan significativos, ¿cuál sería la relación C/N óptima?

E(Rto.) = 1,76998+0,620873 C/N-0,0182113 C/N² ….dE(Rto)/dC/N = 0,620873-2*0,0182113 C/N…..C/N= 0,620873/2*0,0182113=17,046… d²E(Rto)/dC/N²= -2*0,0182113=- 0,0364226 <0, luego se trata de un máximo.

b.3. Intervalo de Producción

Tomando en consideración solamente los términos que resultan significativos, obtener un intervalo en el que fluctúe la producción en el 95% de los casos en los que se emplee un sustrato con relación C/N=16 y el tratamiento A.

[7,042±1,96*(0,787829)^1/2=[5,30 8,78]

EJ1) Contenido de Azúcar en Néctar de Naranja

a) Porcentaje de Envases que Cumplen las Especificaciones

Una característica de calidad importante del néctar de naranja es su contenido en azúcares que debe estar comprendido entre 11 y 12 gr/100 ml. En la elaboración de este néctar en una determinada industria alimentaria, el contenido en azúcares en los envases de 1 litro, es una variable normal de media=11,2 y de desviación típica 0,4 gr/100 ml. Calcular el % de envases de néctar elaborado que cumple las especificaciones.

P(11

b) Aumento del Porcentaje de Envases que Cumplen

¿Cómo sería posible aumentar el % de envases que cumplen las especificaciones? Calcular en ese caso cuánto sería el % máximo de envases que cumplen las especificaciones, si no se puede modificar la desviación típica.

Es posible aumentar el % de envases que cumplen las especificaciones centrando el proceso, es decir, haciendo que la media=11,5 gr/100ml. …P(11….De esta manera se puede aumentar hasta un máximo de 78,88% los envases de néctar cumplen las especificaciones.

c) Aproximación de la Binomial Mediante la Normal

Explicar el fundamento de la aproximación de la Binomial mediante la Normal. ¿Por qué es conveniente cuando se realiza esa aproximación realizar la corrección de continuidad?

En virtud del teorema central del límite, la suma de variables aleatorias independientes entre sí tiende a distribuirse normalmente conforme aumenta el número de sumandos, independientemente de cómo se distribuyan las variables aleatorias que se suman. Por ello, como la variable binomial B(n p) es suma de variables aleatorias de Bernouilli independientes, tiende a distribuirse normalmente si aumenta n. En concreto la aproximación es buena si np(1- p)>=9.

Cuando se calcula una probabilidad de una variable discreta aproximadamente mediante la normal, la aproximación es mejor si sumamos o restamos 0,5 unidades según sea el caso, al valor x respecto del cual queremos calcular la probabilidad. Básicamente porque la masa de probabilidad que se acumula en x en la discreta se expande en el intervalo [x-0,5 x+0,5] media unidad por encima y media unidad por debajo de ese valor, en la variable continua.

EJ2) Líneas Envasadoras de Mermelada

Una industria de envasado de botes de mermelada trabaja con dos líneas envasadoras. En ambas líneas el peso neto de mermelada de los botes envasados se distribuye normalmente. Se toma una muestra de cada línea de tamaño N=25, resultando la varianza de la muestra de la primera línea la mitad que la varianza de la muestra de la segunda. Operando con un riesgo de 1ª especie á = 0,10, ¿se puede admitir la hipótesis de que las varianzas en ambas líneas son iguales?

N₁=24 N₂=24 H₀: VAR²=VAR² Y LO MISMO PERO CON H₁ desigal…. Si H₀ es cierta: s²/var²/ _S1²/var²/=F_24,24…. F_calculada=2>F_24,24^var/21,98

Por lo tanto, no se puede admitir la hipótesis de igualdad de varianzas en ambas líneas.

Comparación de Variedades de Manzana

Una conservera quiere comparar el comportamiento frente a la incorporación de sacarosa de dos variedades diferentes de manzana. Para ello prepara 7 muestras de trozos de manzana peladas de cada variedad, y sumerge los trozos en disoluciones saturadas de sacarosa, midiéndose el contenido de sacarosa al cabo de una hora. Los resultados obtenidos en las pruebas realizadas, se muestran en la tabla adjunta: …..N₁=7 N₂=7 H₀ :m₁ =m₂….H₁ : m₁ ≠m₂ ……..Si H₀ es cierta: t−calculada : 5,68−5,17 / √2/7* (√(7-1)*0,09+(7-1)*0,07/7+7-2)=3,37 > 2,174 rechazamos la H₀ y aceptamos la H₁…. Concluimos que sí que existen diferencias significativas en la incorporación de la sacarosa entre ambas variedades de manzana, siendo más elevada la incorporación en la variedad Starking Delicious.

EJ3) Rendimiento de Variedades de Melón en Cultivo Hidropónico

Una casa de semillas ha realizado un estudio sobre el rendimiento de tres variedades de melón en cultivo hidropónico, usando tres sustratos diferentes para su crecimiento: arcilla expandida, vermiculita y lana de roca. Se hicieron 5 pruebas en cada una de las condiciones y los resultados del ANOVA y la tabla de medias de rendimiento para cada condición fueron las siguientes:

a) Tabla ANOVA y Significancia Estadística

Rellenar la tabla del ANOVA y estudiar la significación estadística de los factores simples y de su interacción (asume un á=5% para la significación) TABLA B_tipo sum 47,4747. Df 2.2._.4.36.44. Mean sq:45,3082.237373._.10,1322.0,1582. F_rat y tabla286,398 > F_2,36(5%. 150,046 >F_2,36(5%)_64,046> F_4,36(5%)….. F_2,36(5%) su valor está entre 3.32 y 3.23 F_4,36(5%) su valor está entre 2.61 y 2.69.Las F ratios son claramente significativas y los tres efectos (efectos simples de variedad y sustrato y la interacción) son claramente significativos.

b) Interpretación de la Interacción

Interpretar la interacción y justificar el por qué ha salido significativa o no en la tabla del ANOVA a partir de los gráficos que se requieran y se puedan obtener a partir de la información facilitada. La interacción ha salido significativa porque el efecto del tipo de sustrato en el rendimiento es diferente según la variedad considerada. Mientras que la variedad 1 y 2 se comportan de modo parecido teniendo una ligera mejora del rendimiento en soporte de lana de roca frente a los resultados en los otros dos soportes en la variedad 3 tiene un comportamiento muy diferente caracterizándose por un aumento notable del rendimiento en el soporte de lana de roca frente a cuando esta se cultiva en los otros sustratos.

c) Diferencias en la Interpretación de Resultados ANOVA

Indica qué diferencias hay en la interpretación de los resultados de un Anova cuando se está estudiando la influencia sobre la variable respuesta de factores cuantitativos frente a cuando son factores cualitativos.

En los factores cualitativos se busca determinar la variante del factor ensayada que conduce a un valor óptimo de la variable respuesta. Dado que se han ensayado todas las variantes de interés del factor cualitativo, la variante óptima se encontrará entre las ensayadas

En las variables cuantitativas por el contrario se pretende determinar la naturaleza de la función de respuesta para poder determinar cuál es el nivel

Rendimiento óptimo del factor a utilizar, que no tiene por qué encontrarse entre los ensayados. Además podría darse el caso de que el valor óptimo del factor explicativo cuantitativo pudiera haberse quedado fuera de la zona ensayada o probada, lo que haría conveniente realizar nuevos ensayos.

EJ4) Efecto de la Manipulación de Plátanos en la Velocidad de Respiración

En el marco de un estudio sobre el efecto que tiene la manipulación de los plátanos modificados por medio de corte en el aumento de la velocidad de respiración de los mismos, se ha procedido a estudiar dos tipos de producto: plátano entero y plátano en rodajas. Para el estudio se han tomado 31 unidades de cada uno y después de someterlos a diferentes temperaturas de conservación entre 0 y 20 grados se les ha medido su producción de CO₂ (velocidad de respiración). CO₂.

a) Valor del Coeficiente R²

Calcular el valor del coeficiente R² e interpretar el resultado obtenido

R² = SC_Modelo/SC_Total = 53459,9/53516= 99.895 %….Nos indica que el 99.895 % de la variabilidad de la producción de CO₂ en esos dos tipos de producto quedaría explicada por el modelo estimado.

b) Interpretación del Coeficiente de la Variable T²

¿Qué interpretación práctica tiene el valor 0,243862 obtenido para el coeficiente de la variable T²?

“Mide la curvatura de la relación entre producción de CO₂ y Ta de conservación para los plátanos en rodajas (referencial)” El valor 0,243862 es + lo que indica que la relación es de tipo cóncavo (pendiente creciente al aumentar la Ta

c) Significancia de los Parámetros del Modelo

Estudiar si son significativos (á=0.05) los parámetros del modelo TABLA: Estadistico:-0,00755203.5,81087.-4,25947.41,4141.-4,50758.Valor-P: T_calc < T tablas( el resto de signo revés)…..  Aplicando un test t de student para la media: Las t calculadas del test se obtienen calculando b_i/S_bi
Se observa que las t calculadas salen fuera de la región de aceptación
RA = [-t _glres (α/2) +t _glres (á/2)] = [-t ₅₆ (0.025) +t₅₆ (0.025)] ≈[-2 2] y por lo tanto los tres parámetros â₂ â₃ , â₄ , â₅ son significativamente distintos de cero, mientras â₁ no es estadísticamente significativo y el término Forma_E se debe quitar del modelo dado que no explica nada.

e) Intervalo de la Velocidad de Respiración

Hallar un intervalo al 95% aproximadamente donde se encontrará la velocidad de respiración en plátano en rodajas conservado a 20^oC (15%)

Del apartado anterior:  E(CO₂ / Ta=20^oC y RODAJAS)=7,97888+(0,72251)*20+(0,243862)*20² E(CO₂ / Ta=20^oC y RODAJAS)= 119,97 ….Siendo CMR= 1,00043
Un intervalo al 95% = 119,97± 2 S_res = 119,97± 2 (CMR)^0,5 = 119,97± 2*1,0002 = [117,97 121,97]

f) Test General para la Curvatura del Modelo

A partir de la salida de ANOVA correspondiente a un modelo sin curvatura comprobar haciendo uso del test general que no es aceptable que los coeficientes para los términos: T² y Forma_E * T² sean ambos iguales a cero H₀: B₄= B₅=0. H₁= no H₀ Restricciones r=2…. AcumSCR = SCR_r – SCR_c =3000,19 – 56,1 = 2944,09… F_ratio=(2944,09/2)/(56,1/56)=1469,42… F_tablas = F_2,56 (5%) es aproximadamente 3.15 ⇒F_ratio >> F _tablas => rechazo H₀
Se acepta que el modelo tiene curvatura