Somigliana:

Se obtiene la gravedad normal de un punto situado en el elipsoide.

Ecuación de Bruns:

Relaciona la ondulación del geoide con el potencial perturbador.

Principio de Dirichlet:

Depende de los valores tomados, siempre existirá una función armónica V que tome sobre S los valores de contorno dados.

Ecuación Diferencial Ordinaria:

h(λ)=Cos(m* λ) ; h(λ)=Sen(m* λ) ;

Los polinomios de Legendre:

Soluciones a la ecuación de Laplace sobre un sistema de referencia no esférico.

Campo conservativo:

Aquel en el que el trabajo realizado para desplazar una partícula P desde un punto a otro no depende de la posición o trayectoria por la cual se desplaza a lo largo de la trayectoria, sino sólo depende del valor de la función en ambos puntos.

Propiedades de Gradiente:

El gradiente de una función escalar la transforma a función vectorial. El vector gradiente lleva la dirección de la máxima variación de la función y el sentido creciente de la misma.

Diferencia conceptual entre la ecuación que expresa el potencial gravífico:

W= V+O → potencial gravífico = potencial gravitatorio + fuerza centrífuga

W=U+T → potencial gravífico = potencial gravitatorio + potencial anómalo normal de un elipsoide

¿Dentro de las masas atrayentes, el campo gravitatorio es solenoidal?

Sí, el campo gravitatorio es solenoidal si calculamos la divergencia, pues la divergencia es prácticamente nula.

El potencial gravitatorio terrestre en todo el espacio se puede obtener a partir de medidas en la superficie terrestre, enumera los teoremas o hipótesis que concluyen este fundamento.

La primera hipótesis es que solo se genera potencial gravitatorio en los elementos de volumen generadores de potencial. Por encima de la superficie, el potencial generado es nulo. Para calcular este potencial usamos la ecuación de Laplace.

¿Se podrán resolver todos los coeficientes de un modelo global hasta grado y orden 360 a partir de los datos de perturbaciones de órbitas de satélite únicamente?, justificar la respuesta.

No, porque los datos por satélite solo van a captar las longitudes de onda de mayor magnitud y los satélites no serán capaces de detectar las pequeñas variaciones de los coeficientes más pequeños.

El potencial generado por la fuerza centrífuga, ¿es armónico? Demostrarlo. Lo es, por lo tanto, el gravífico.

No, se trata de una función analítica cuyo gradiente no es igual a cero. El potencial gravífico será la suma del gravitatorio y del centrífugo, al no serlo el centrífugo no lo será el gravífico.

¿Por qué no hay elemento Sn0 en un desarrollo armónico esférico?

Porque la señal gravitatoria se atenúa con la altura.

¿Qué diferencia existe entre la expresión del flujo como … y como …?

La primera refleja el flujo de forma genérica, es la ley de Gauss y la segunda es un caso particular que sirve para calcular el flujo parametrizado para campos centrales, solo depende del radio r.

Si nos encontramos ante un campo vectorial central Newtoniano ¿Cómo se calcularía la función potencial del mismo?

Realizando la integral cerrada sobre todas las curvas que generan las líneas equipotenciales y solamente dependen del parámetro r.

¿Sería aconsejable aumentar el desarrollo armónico esférico del potencial gravitatorio sin aumentar la precisión en la obtención de los coeficientes?

No es aconsejable porque a mayor grado, mayor será la acumulación de errores por comisión.

Explicar la diferencia de significado físico existente entre las ecuaciones de Poisson y de Laplace.

La ecuación de Poisson se aplica a puntos del interior, es decir, puntos generadores de potencial gravitatorio (con densidad no igual a cero), mientras que la de Laplace se aplica a puntos fuera de las masas generadoras (densidad igual a cero).

¿Cuál es la interpretación geométrica de la aproximación de la función potencial gravitatoria mediante polinomios y funciones de Legendre?

Se aproxima a la función mediante suma de ondas de diferente frecuencia, siendo ésta la mejor aproximación a la función en el sentido de residuos al cuadrado mínimos.

¿Por qué se considera el campo gravitatorio como conservativo?

Porque es un campo de fuerzas centrales y todo campo de fuerzas centrales es conservativo. Además, la función vectorial que define el campo vectorial se obtiene a partir de una función escalar.

¿Por qué, en el caso de la Geodesia Física, la suma de las funciones características que resuelven la ecuación de Laplace es la mejor solución posible?, ¿Qué información geométrica nos ofrece esta suma en el caso de la Geodesia Física?

Gracias a ella, los armónicos esféricos de superficie (sumatorio infinito) pueden obtenerse a partir de una fórmula cerrada (integral sobre toda la esfera).

¿Cuál es la principal utilidad que haremos de la función generatriz de los polinomios de Legendre?

Evaluar el potencial de un punto.

Diferencias entre los polinomios y las funciones de Legendre.

Las propiedades de los polinomios de Legendre también son propiedades del campo gravitatorio. Estos no dejan de ser una suma de ondas de diferentes frecuencias. Las funciones, sin embargo, se resuelven a través de los polinomios para desarrollos en serie y sirven para obtener la mejor representación posible en serie de una función. En polinomios m=0 y en funciones m distinto de 0.

Enumerar cuatro cantidades relacionadas con el potencial anómalo.

• Anomalía de gravedad
• Ondulación del geoide
• Desviación de la vertical
• Perturbación de la gravedad

¿Cuáles son las tres fuentes de datos principales para llegar a la obtención de los coeficientes globales del potencial gravífico?

• Perturbaciones orbitales
• Altura de los satélites
• Datos gravimétricos terrestres

¿Por qué las superficies equipotenciales del potencial gravífico W no son paralelas?

• La elipticidad de la Tierra y el achatamiento de los polos
• La fuerza centrífuga
• La densidad terrestre

¿Por qué en el desarrollo armónico esférico del potencial gravitatorio de un elipsoide es suficiente con llegar a orden 6 u 8 para una correcta representación?

Porque en el desarrollo de armónicos esféricos, cada término tiene una magnitud menor que la anterior, tendiendo rápidamente a 0, por eso con llegar a estas órdenes es suficiente.

Sabiendo que WP=UP+TP y que WP=UQ, demostrar que N=T/γ.

Up=Uq + (dU/dn) N =Uq‐ γ qN. Luego Wp‐Tp= γ qN ‐> Tp= γ qN ‐> N=Tp/ γ q

Considerando la tierra elipsoidal ¿hasta dónde queda garantizada la convergencia de la solución armónico esférica dentro de las masas terrestres?

Hasta la parte inferior del potencial generado por la longitud de onda del modelo del geoide.

¿Para qué se utilizan en Geodesia Física los armónicos fuertemente normalizados o cuasinormalizados?

Fuertemente normalizados para evitar la inestabilidad numérica en grados altos. Cuasinormalizados en lo mismo, pero salvan el inconveniente de la distinción m=0.

Según las propiedades de ortogonalidad aplicadas a las funciones de Legendre ¿Cuándo dos funciones de tipo R o S multiplicadas por otra de tipo R o S e integradas sobre el dominio de definición darán cero?, ¿Para qué se utilizan estas propiedades en la resolución armónico esférica del potencial gravitatorio?.

Será cero cuando multipliquemos dos funciones de tipo R que no presenten el mismo grado y orden, dos de tipo S que no presenten el mismo grado y orden y siempre que multipliquemos una de tipo R y otra de tipo S. Estas propiedades son la base para el cálculo de las constantes Anm y Bnm de la solución armónico esférica.

Demostrar que el vector gravedad es perpendicular a la superficie equipotencial que lo contiene.

W=cte.; dW=g dr=0 como g dr=0 ‐> es perpendicular y como dr discurre por la superficie equipotencial, g es perpendicular a ella.

Qué diferencia existe entre la perturbación y la anomalía de la gravedad.

La perturbación de la gravedad es la discrepancia que encontramos entre el potencial generado por el geoide y el potencial generado por el elipsoide, en cambio la anomalía de la gravedad es el ángulo que forman el vector gravedad normal (elipsoide) y el vector de gravedad del geoide.

¿Por qué se considera que el campo gravitatorio fuera de las masas atrayentes es solenoidal?

Porque al no haber densidad (no hay masas) la divergencia se hace nula divF=4pikg=0.

¿Por qué el campo Newtoniano es una particularización de campo central?

Lo es por definición: una masa puntual m crea a su alrededor un campo central atractivo de acuerdo con la ley de Newton.

La definición de circulación elemental es dC = Fdr y la de flujo elemental dφ = FdS ¿En qué se diferencian geométricamente ambas expresiones?

Las expresiones son iguales excepto que la circulación elemental es hallada a lo largo de una curva y el flujo elemental se halla a través de una superficie.

Si desarrollamos una función en serie utilizando el sistema de polinomios de Legendre: ∞ y( )x =∑anPn( )x ¿Cómo se obtienen las constantes an?

Debemos hacer que las “an” converjan para la serie 1) Se multiplican ambos miembros por Pn(X) y se integra.

¿Por qué se transforman algunos de los primeros coeficientes de un desarrollo armónico esférico del potencial gravitatorio terrestre en los llamados armónicos prohibidos?

Por la coincidencia del origen de coordenadas con el centro de masas y que uno de los ejes del origen de coordenadas coincida con uno de los ejes, el de rotación z.

Condición inicial ecuación de Laplace:

La diferencia de potencial entre lugares fuera de masas generadoras de potencial debe ser 0.

¿A qué es debido que la circulación de un campo vectorial, en caso de que se obtenga como gradiente de una función escalar, sea conservativo?

Se trata de una extensión de la regla de Barrow, la cantidad subintegral coincide con la variación elemental de la función (con su diferencial), por lo que el valor de la integral será la resta entre los valores de la función en sus límites de integración.

¿Por qué el teorema de Stokes y el principio de Dirichlet justifican el estudio del campo gravitatorio terrestre tal como se entiende actualmente?

Stokes resuelve de forma única el problema directo a partir de medidas en la superficie terrestre (valores de contorno), es decir, solo hay una función armónica V que tome sobre la superficie estos valores. El principio de Dirichlet asegura que estos valores de contorno pueden ser arbitrariamente tomados.

¿Qué entiende por armónicos sectoriales?

La representación geométrica de los armónicos para el caso m=n, donde desaparece la dependencia de la latitud y se divide a la esfera unidad en 2m sectores positivos y negativos alternativamente.

¿Cuál es la interpretación geométrica de la aproximación de la función potencial gravitatoria mediante polinomios de Legendre?

Se aproxima a la función mediante suma de ondas de diferente frecuencia, siendo ésta la mejor aproximación a la función en el sentido de residuos al cuadrado mínimos.

¿Cuál es el significado geométrico de las dos soluciones a la ecuación de Cauchy sobre la esfera de radio unidad?

F(r)=r^n presentará convergencia de la solución para puntos en el interior de la esfera de radio unidad y F(r)=1/r^(n+1) para puntos situados en el exterior de la esfera de radio unidad.

¿A qué es debido que el desarrollo armónico esférico del potencial generado por un elipsoide de revolución esté compuesto únicamente por términos zonales pares y se consideren únicamente 3 o 4 términos del desarrollo?

Aparecen términos zonales debido a la simetría de rotación del elipsoide de revolución y pares debido a la simetría de la figura respecto al ecuador, de la misma manera, únicamente se consideran los 3 o 4 primeros términos ya que, al tratarse de una figura geométrica, la contribución numérica del resto de grados es despreciable.

Enumerar las 3 fuentes de datos principales para la obtención de un modelo de geoide global y explicar los dos tipos de errores que presentan.

• Análisis de las perturbaciones orbitales de los satélites.
• Datos gravimétricos terrestres.
• Datos altimétricos de satélite

Errores por comisión en el cálculo de los coeficientes del modelo – errores por omisión debido al truncamiento de la serie armónico esférica.

¿Si desarrollamos una función en serie utilizando el sistema de polinomios de Legendre, como se obtienen las constantes an?

Hay que buscar que convengan, por tanto, multiplicando ambos lados de la ecuación e integrando y aplicando las propiedades de ortogonalidad, la segunda parte del igual dará un valor distinto de cero que nos permitirá obtener an.

¿Por qué el potencial gravitatorio V=KM/d debe considerarse como puntual? ¿Qué se debe hacer para evaluar el potencial gravitatorio que genera un volumen?

Porque por simplicidad se hace la masa atraída a la unidad (partícula testigo), pudiendo evaluar el campo gravitatorio en un solo cuerpo que servirá para materializar la fuerza gravitacional.

Actualmente, ¿En qué grupo de coeficientes de los modelos globales se produce la mejora en la precisión de su determinación?

Cum y Sum