Teorema función continua acotada máximo
Solución 1. Unidad 1
Solución del ejercicio:
Interpretación geométrica de la ecuación 
Al conjunto de los números reales cuya distancia a
es 
.
Interpretación geométrica de la ecuación 
Al conjunto de los números reales cuya distancia a
es menor que 
.
Interpretación geométrica de la ecuación 
Al conjunto de los números reales cuya distancia a
es menor o igual que 
.
Solución al ejercicio:
Intervalo cerrado a la izquierda o semicerrado a la izquierda
Supremo: 
Ínfimo: 
Máximo: No tiene Mínimo:
Intervalo cerrado.
Supremo: 
Ínfimo: Máximo: Mínimo:
Intervalo cerrado.
Supremo: 
Ínfimo: Máximo: Mínimo:
Intervalo abierto.
Supremo: Ínfimo: 
Máximo: No tiene Mínimo: No tiene
Intervalo abierto.
Supremo: Ínfimo: 
Máximo: No tiene Mínimo: No tiene
Intervalo cerrado a la izquierda ó semicerrado a la izquierda
Supremo: Ínfimo: 
Máximo: No tiene Mínimo:
Intervalo abierto.
Supremo: Ínfimo: Máximo: No tiene Mínimo: No tiene
Intervalo abierto
Supremo: Ínfimo: Máximo: No tiene Mínimo: No tiene
Intervalo cerrado a la izquierda ó semicerrado a la izquierda
Supremo: Ínfimo: Máximo: No tiene Mínimo:
Intervalo cerrado.
Supremo: Ínfimo: Máximo: Mínimo:
Intervalo cerrado a la izquierda ó semicerrado a la izquierda.
Supremo: Ínfimo: Máximo: No tiene Mínimo:
Intervalo cerrado.
Supremo: Ínfimo: Máximo: Mínimo:
Solución al ejercicio:
Dados los números complejos 
y 
, calcular:
Solución al ejercicio:
-
Solución 1. Unidad 2
Solución del ejercicio:
El conjunto está acotado superiórmente, una cota superior es cualquier número real mayor o igual que . La menor de todas las cotas superiores es y está en el conjunto, luego:
El conjunto está acotado inferiormente, una cota inferior es cualquier número negativo o el 0. La mayor de todas las cotas inferiores es 0 y está en el conjunto, luego:
Hallando las raíces de 
, podemos deducir que
El conjunto está acotado superiórmente, una cota superior es cualquier número real mayor o igual que 
. La menor de todas las cotas superiores es que no está en el conjunto, luego no existe el máximo.
El supremo del conjunto es:
El conjunto está acotado inferiormente, una cota inferior es cualquier número real menor o igual que 
. La mayor de todas las cotas inferiores es que no está en el conjunto, luego no existe el mínimo.
El ínfimo del conjunto es:
Hallando las raíces de , podemos deducir que:
El conjunto está acotado superiórmente, una cota superior es cualquier número real mayor o igual que . La menor de todas las cotas superiores es que no está en el conjunto, luego no existe el máximo.
El supremo del conjunto es:
El conjunto está acotado inferiormente, una cota inferior es cualquier número real menor o igual que . La mayor de todas las cotas inferiores es que no está en el conjunto, luego no existe el mínimo.
El ínfimo del conjunto es:
Solución al ejercicio:
Calculamos el 
Dividimos numerador y denominador por 
Como 
, entonces
Calculamos el 
Dividimos numerador y denominador por 
C).-
Calculamos el 
Dividimos numerador y denominador por 
Solución al ejercicio:
-
Ejercicio 1. Unidad 3
- Dadas las funciones
; 
:
Calcular 
; 
; 
; 
e indicar su dominio.
Comprobar que se cumplen las propiedades de las operaciones entre funciones, para el valor 
.
Calcular, si es posible, 
y 
e indicar su dominio.
- Dadas las siguientes funciones definidas como
, determinar:
El dominio y la imagen de la función.
Si es sobreyectiva, inyectiva o biyectiva.
.
- Determinar
para que sea finito el límite: 
- Hallar los límites de:
- Estudiar la continuidad de:
en 
en
Solución 1. Unidad 3
Solución al ejercicio:
Para 
; 
La función no es válida para 
, pues 
.
Por tanto: 
.
La función no es válida para , pues 
.
Por tanto: 
.
La función no es válida para , pues 
.
Por tanto: 
.
El denominador se anula para 
.
Por tanto: 
.
; 
La función no es válida para , pues 
.
Por tanto: 
.
El denominador se anula para 
.
Por tanto: 
.
Solución al ejercicio:
Al no indicar nada, suponemos que el signo de la raíz es positivo.
Dominio e imagen de la función:
La función no es válida para valores de 
, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, por tanto:
La imagen de la función es igual a conjunto de los diversos valores que toma la función aplicada a los elementos del dominio.
Tipo de aplicación:
- Sobreyectiva:
Es sobreyectiva si todos los elementos de la imagen de la función son alcanzados por algún elemento del dominio.
Para ello el conjunto imagen debe ser igual al conjunto 
.
Al ser 
, el conjunto imagen es todo 
, mientras que 
Luego:
Por tanto, la función no es sobreyectiva.
- Inyectiva:
Es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
Por tanto la función es inyectiva.
- Biyectiva:
Es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Como no es sobreyectiva, entoces, no es biyectiva.
Dominio e imagen de la función:
La función no es válida para valores de en los que el numerador sea o una raíz cuadrada negativa, es decir, si 
.
La imagen de la función es igual a conjunto de los diversos valores que toma la función aplicada a los elementos del dominio.
La función es simétrica respecto a la recta . El mínimo lo alcanza en el valor 
.
Tipo de aplicación:
- Sobreyectiva:
Es sobreyectiva si todos los elementos de la imagen de la función son alcanzados por algún elemento del dominio.
Para ello el conjunto imagen debe ser igual al conjunto .
Al ser , el conjunto imagen es todo , mientras que 
Luego:
Por tanto, la función no es sobreyectiva.
- Inyectiva:
Es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
Como existen imágenes iguales para elementos distintos del dominio, la función no es inyectiva.
- Biyectiva:
Es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Como no es ni sobreyectiva ni inyectiva, entoces, no es biyectiva.
- Dominio e imagen de la función:
La función no está definida para valores negativos del conjunto inicial.
La imagen de la función es igual a conjunto de los diversos valores que toma la función aplicada a los elementos del dominio.
Tipo de aplicación:
- Sobreyectiva:
Es sobreyectiva si todos los elementos de la imagen de la función son alcanzados por algún elemento del dominio.
Para ello el conjunto imagen debe ser igual al conjunto .
Al ser , el conjunto imagen es todo , mientras que 
. Luego:
Por tanto, la función no es sobreyectiva.
- Inyectiva:
Es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
Si estudiamos cada una de los intervalos en los que está definida la función:
Para:
Como existen imágenes iguales para elementos distintos del dominio, la función no es inyectiva.
Por ejemplo:
Es decir, para 
y 
se obtiene la misma imagen.
- Biyectiva:
Es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Como no es ni sobreyectiva ni inyectiva, entoces, no es biyectiva.
Solución al ejercicio:
Para que el límite sea finito, hay que ver como eliminar el valor que convierte al denominador en .
Si 
Sustituyendo en la función 
Solución al ejercicio:
INDETERMINACIÓN
Por equivalencia sabemos que si 
, entonces:
~
; 
~
INDETERMINACIÓN
INDETERMINACIÓN
Solución al ejercicio:
en
Al no indicar nada, suponemos que el signo de la raíz es positivo.
Para que la función sea continua en , tiene que ocurrir que:
- Calculamos el límite por la derecha:
Hemos podido introducir el denominador en la raíz directamente, ya que el término no cambia de signo al ser 
Por equivalencia, si 
, entonces ~
- Calculamos el límite por la izquierda:
Para podido introducir el denominador en la raíz hay que cambiar el signo del límite, ya que el término cambia de signo al ser
Por equivalencia, si , entonces ~
- Como
, la función no es continua en .
En
Para que la función sea continua en , tiene que ocurrir que:
- Calculamos el límite por la derecha:
- Calculamos el límite por la izquierda:
- Existe el límite de la función en , pues
Pero la función no es continua en , ya que
La discontinuidad es evitable. Para que la función sea continua basta redefinirla como:
Ejercicios 1. Unidad 4
- Sea
una función derivable en 
, calcular: 
- Calcular el límite de las siguientes funciones, aplicando la regla de L’Hôpital:
- Calcular mediante el polinomio de Taylor de grado 4:
-
- Clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones, determinando sus máximos y mínimos:
-
en el intervalo 
en el intervalo
-
Soluciones 1. Unidad 4
Por ser 
derivable en 
:
Pero, también podemos afirmar que
Por tanto,
INDETERMINACIÓN
Por equivalencia sabemos que si , entonces:
~ ; ~
Aplicando la regla de L’Hôpital sabemos que si 
y existe 
, entonces 
.
Por tanto:
Luego:
INDETERMINACIÓN
Por equivalencia sabemos que si , entonces, 
~
Aplicando la regla de L’Hôpital sabemos que si y existe , entonces .
Por tanto:
Luego:
INDETERMINACIÓN
Aplicando la regla de L’Hôpital sabemos que si y existe , entonces .
Por tanto:
Desarrollamos el polinomio de Taylor equivalente a 
en el entorno de 
:
Calculamos el valor de la función para 
Desarrollamos el polinomio de Taylor equivalente a 
en el entorno de :
Calculamos el valor de la función para 
Para buscar los máximos y mínimos de la función:
Primero
Se buscan en el interior del intervalo
Segundo
Se calcula el valor de la función en los puntos donde no sea derivable y en los extremos del intervalo.
PRIMERO: En el interior del intervalo
Los posibles extremos de la función (máximos o mínimos locales) se encontrarán entre los puntos para los que 
Calculamos:
Obtenemos como resultado que 
es igual a para 
.
Comprobamos si los puntos hallados en el apartado anterior son extremos de la función o no.
Para ello calculamos 
y comprobamos el valor en esos puntos.
MÍNIMO LOCAL
Como 
se anula en 
y 
, seguimos derivando la función hasta que no se anule la derivada en dichos puntos:
Como la última derivada que se anula para y es par, la función presenta un punto de inflexión en estos puntos
Calculamos que otros puntos de inflexión presenta la función, puntos en los que 
.
Comprobamos que el valor 
en los nuevos puntos es distinto de cero.
Luego existen 2 puntos de inflexión nuevos en 
.
Calculamos el valor de la función en los puntos anteriores.
MÍNIMO LOCAL
PUNTO INFLEXIÓN
PUNTO INFLEXIÓN
P. INFLEX.
P. INFLEX.
SEGUNDO: En puntos no derivables y en los extremos
Como la función es derivable en todo el intervalo, analizamos el valor de la función en los puntos extremos del mismo.
Intervalo
:
Los puntos críticos hallados en el apartado anterior corresponden a valores de 
, por lo tanto, los puntos críticos de la función en el intervalo son:
MÍNIMO
MÁXIMO
PUNTO INFLEXIÓN
P. INFLEX.
GRÁFICA 
Para buscar los máximos y mínimos de la función:
Primero
Se buscan en el interior del intervalo
Segundo
Se calcula el valor de la función en los puntos donde no sea derivable y en los extremos del intervalo.
PRIMERO: En el interior del intervalo
Los posibles extremos de la función (máximos o mínimos locales) se encontrarán entre los puntos para los que
Calculamos:
Obtenemos como resultado que es igual a para .
Comprobamos si los puntos hallados en el apartado anterior son extremos de la función o no.
Para ello calculamos y comprobamos el valor en esos puntos.
MÁXIMO LOC.
Como se anula en y , seguimos derivando la función hasta que no se anule la derivada en dichos puntos:
Continuamos derivando
MIN. LOCAL
MIN. LOCAL
Como la última derivada que se anula para y es impar, la función presenta un extremo en estos puntos, y por ser 
y 
, en ambos puntos presenta un mínimo local.
Calculamos los puntos de inflexión de la función, puntos en los que 
.
Como en 
hay extremos relativos, la función puede presentar puntos de inflexión para 
.
Comprobamos si el valor 
en los puntos anteriores es distinto de cero.
Por tanto, los puntos de inflexión están en 
.
Calculamos el valor de la función en los puntos anteriores.
MÁXIMO LOCAL
MÍNIMO LOCAL
MÍNIMO LOCAL
P. INFLEX.
P. INFLEX.
SEGUNDO: En puntos no derivables y en los extremos
Como la función es derivable en todo el intervalo, analizamos el valor de la función en los puntos extremos del mismo.
Intervalo:
No es punto extremo
No es punto extremo
Los puntos críticos hallados en el apartado anterior corresponden a valores de , por lo tanto, los puntos críticos de la función en el intervalo son:
MÁXIMO LOCAL
MÍNIMO LOCAL
P. INFLEX.
GRÁFICA 
Ejercicio 1. Unidad 5
- Dadas las funciones
; 
demostrar que se cumplen las propiedades de la suma de Darboux en el intervalo 
, utilizando las particiones 
y 
, para las funciones:
- Dadas las funciones
y 
, se pide:
- Calcular el valor de
y 
- Comprobar que se cumple que
- Calcular el valor de
- Comprobar que se cumple que
- Calcular mediante los métodos numéricos de integración del trapecio y de Simpson, tomando 6 subintervalos:
- Calcular las primitivas de las siguientes funciones:
Soluciones 1. Unidad 5
-
- Los valores de la función en los puntos de la partición
son:
La suma inferior de Darboux para la partición es
La suma superior de Darboux para la partición es
- Los valores de la función en los puntos de la partición
son: 
La suma inferior de Darboux para la partición es
La suma superior de Darboux para la partición es
- Comprobación de las propiedades de la suma de Darboux:
- La suma inferior Darboux de una partición es siempre menor o igual que la suma superior de Darboux, y viceversa.
- La suma inferior de Darboux de una partición es menor o igual que la suma inferior de Darboux de una partición más fina y la suma superior de Darboux de una partición es mayor o igual que la suma superior de Darboux de una partición más fina.
Al ser más fina que :
- La suma inferior de Darboux de una partición de un intervalo siempre es menor o igual a la suma superior de Darboux de otra partición distinta del mismo intervalo.
- Los valores de la función en los puntos de la partición son:
La suma inferior de Darboux para la partición es
La suma superior de Darboux para la partición es
- Los valores de la función en los puntos de la partición son:
La suma inferior de Darboux para la partición es
La suma superior de Darboux para la partición es
- Comprobación de las propiedades de la suma de Darboux:
- La suma inferior Darboux de una partición es siempre menor o igual que la suma superior de Darboux, y viceversa.
- La suma inferior de Darboux de una partición es menor o igual que la suma inferior de Darboux de una partición más fina y la suma superior de Darboux de una partición es mayor o igual que la suma superior de Darboux de una partición más fina.
Al ser más fina que :
- La suma inferior de Darboux de una partición de un intervalo siempre es menor o igual a la suma superior de Darboux de otra partición distinta del mismo intervalo.
-
- Calcular el valor de
y 
- Calcular el valor de
- Comprobar que se cumple que
- Comprobar que se cumple que
-
6 subintervalos: 
; ; 
- Método del trapecio
- Método de Simpson
6 subintervalos:
- ; ;
- Método del trapecio
- Método de Simpson
Se pide calcular 
:
La función, a integrar corresponde a la función tipo del cociente de dos polinomios en el que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
Este tipo de integrales se resuelve de la forma:
En donde 
es el polinomio cociente del mismo grado que 
y 
es el polinomio resto.
Calculamos 
La función, a integrar corresponde a la función tipo del cociente de dos polinomios en el que el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
Este tipo de integrales se resuelve mediante la descomposición en fracciones simples, es decir:
En la descomposición en fracciones simples, el numerador tiene un grado menos que el denominador. Si igualamos numeradores:
Por tanto:
Aplicando el resultado obtenido:
Con la constante 
recogemos en el resultado todas las primitivas de la función.
Calculamos 
La función, a integrar corresponde a la función tipo del cociente de dos polinomios en el que el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
Este tipo de integrales se resuelve mediante la descomposición en fracciones simples, es decir:
Si igualamos numeradores:
Por tanto:
Calculamos 
La función, a integrar corresponde a la función tipo de potencias de senos y cosenos, en este caso, con ambos exponentes pares.
Este tipo de integrales se resuelve mediante la aplicación de las propiedades:
; 
; 
Por tanto:
Calculamos por separado las dos nuevas integrales obtenidas:
Para resolver esta integral, volvemos a aplicar la sustitución de valores aplicada a potencias de senos y cosenos de exponente par.
Esta integral es del tipo de potencias de senos y cosenos, con una de ellas de exponente impares.
De forma general se haría un cambio de variable denominando 
al valor de exponente par, y derivando éste para sustituir al otro valor.
Por ejemplo:
El cambio de variable, por ser 
par:
Sustituyendo en la integral
En nuestro caso, el término de exponente par es 
, por tanto:
Aplicando los resultados obtenidos:
Calculamos 
La función, a integrar corresponde al tipo de funciones con raíces.
Este caso es del tipo 
de tal forma que:
Por tanto:
Como
Por tanto
Calculamos 
Esta tipo de integral se resuelve mediante la integración por partes, que se realiza mediante la fórmula:
En este caso, tomamos:
Calculamos por separado la integral:
La función, a integrar corresponde a la función tipo del cociente de dos polinomios.
Este tipo de integrales se resuelve de la forma:
En donde es el polinomio cociente del mismo grado que y es el polinomio resto.
Trasladando el resultado a la integral inicial:
Ejercicio 1. Unidad 6
- Definidas las funciones
, hallar el dominio y la imagen de:
- Dados los puntos
, siendo 
, 
y 
, comprobar que se cumplen las propiedades de la distancia entre dos puntos.
- Hallar los límites mediante equivalencias (si existen) de las funciones:
, cuando 
, cuando 
- Calcular, si existen, los límites reiterados (ó iterados) y el límite doble para:
, cuando 
, cuando
- Estudiar la continuidad de las funciones:
, en el punto 
, en el punto 
, en el punto
Solución 1. Unidad 6
El dominio de es el conjunto de los valores de 
para los que está definida la función, es decir,
La imagen de es el conjunto de los valores de que son alcanzados como imagen de algún punto del dominio, es decir,
El dominio de :
La función no está definida para aquellos valores de 
que anulen el denominador, por tanto no estaría definida para
Luego, el dominio de la función es
toma todos los valores distintos de , luego la imagen de la función es
La función no está definida para aquellos valores de que hagan negativo el radicando, por tanto no estaría definida para
Luego, el dominio de la función es
toma todos los valores mayores o iguales que , luego la imagen de la función es
La función no está definida para aquellos valores de que hagan negativo el radicando o el denominador igual a , por tanto no estaría definida para
Luego, el dominio de la función es
toma todos los valores positivos de , luego la imagen de la función es
La función está definida para todos los valores de , luego, el dominio de la función es todo .
toma todos los valores mayores o iguales a , luego la imagen de la función es
2
La distancia entre dos puntos pertenecientes a 
, para los puntos genéricos 
; 
, es igual a
Dados los puntos 
, 
y 
, entonces:
si, y sólo si, 
3-
, cuando 
INDETERMINACIÓN
Si 
~
, cuando 
INDETERMINACIÓN
Si ~ , ~
- Caculamos el
INDETERMINACIÓN
Tomamos la recta genérica, que pasa por el 
, 
, de tal forma que
Como es independiente de , el límite según las diferentes direcciones puede ser 
.
Comprobamos para direcciones no rectilíneas.
Tomamos la función que pasa por el , 
, de tal forma que
, que coincide con el valor anterior .
Tomamos la función que pasa por el ,
, de tal forma que
, que coincide con el valor 
.
- Para que exista el límite debe ocurrir que
para 
. Como , entonces:
Como 
, entonces,
Basta tomar un 
para que 
Luego el límite existe, siendo éste 
4-
, cuando
Como existen los límites reiterados pero son distintos, entonces no existe el límite doble.
, cuando
Existen los límites reiterados y son iguales.
Pasamos a comprobar si existe el límite doble.
Tomamos la recta genérica, que pasa por el , , de tal forma que
Como el límite de la función depende de , es decir, depende de la recta elegida, no existe límite doble de la función en ese punto.
5-
, en el punto 
Calculamos el 
Para que exista el límite debe ocurrir que 
para , llamando
Veamos si 
, entonces:
Como
y 
entonces
Luego en la expresión anterior podemos saber que
Basta tomar un 
para que 
Luego el límite existe, siendo éste 
.
El valor de la función en el 
es 
, que coincide con el valor del límite , por tanto la función es continua en el punto
, en el punto 
Cálculamos el 
INDETERMINACIÓN
Tomamos la recta genérica, que pasa por el , , de tal forma que
Como es independiente de , el límite puede ser .
Comprobamos para direcciones no rectilíneas.
Tomamos la función que pasa por el , , de tal forma que
, que coincide con el valor anterior .
Tomamos la función que pasa por el ,, de tal forma que
, que coincide con el valor .
- Para que exista el límite, además debe ocurrir que para .
Como , entonces:
Como 
, entonces,
Basta tomar un 
para que 
Luego el límite existe, siendo éste
El valor de la función en el es 
, que coincide con el valor del límite 
, por tanto la función es continua en el punto
, en el punto
Cálculamos el 
INDETERMINACIÓN
Tomamos la recta genérica, que pasa por el , , de tal forma que
Como el límite de la función depende de , es decir, depende de la recta elegida, no existe límite de la función en ese punto, no siendo la función continua en el punto .
Ejercicio 1. Unidad 7
- Calcular las derivadas parciales de orden 2 de las funciones:
- Hallar los extremos relativos de las funciones:
- Calcular el valor máximo y mínimo de
sujeta a la condición 
. 
; 
; 
Solución 1. Unidad 7
- Calculamos los puntos críticos de la función, los puntos en los que las derivadas parciales son igual a .
El punto crítico está en 
- Calculamos el hessiano de .
El valor del hessiano de es positivo e independiente del punto , también para el .
En 
hay un punto extremo de la función.
- Estudiamos los puntos extremos
Como 
, ya que 
independiente del punto , entonces en el punto la función presenta un MÍNIMO.
- Calculamos los puntos críticos de la función, los puntos en los que las derivadas parciales son igual a .
El punto crítico es 
.
- Calculamos el hessiano de .
El valor del hessiano de negativo e independiente del punto , por tanto, también para el
En hay un PUNTO DE SILLA.
- Calculamos los puntos críticos de la función, los puntos en los que las derivadas parciales son igual a .
Los puntos críticos son y 
.
Calculamos el hessiano de .
Calculamos el valor del hessiano de en los puntos críticos:
- Para :
punto de silla - Para :
extremo
- Estudiamos los puntos extremos
Extremo en el punto , cuyo hesiano es 
.
Como 
entonces existe un MÁXIMO.
- La función
presenta en: - El punto : un PUNTO DE SILLA.
- El punto : un MÁXIMO.
; 
En primer lugar denominamos la condición de ligadura.
Por tanto definimos la función
Para calcular los máximos y mínimos de sometidos a la condición 
, hay que calcular los valores de 
,
,
que cumplan las siguientes ecuaciones:
De la primera ecuación obtenemos que 
. Sustituyendo en la segunda ecuación
Sustituyendo en la tercera ecuación:
Los puntos extremos condicionados se encuentran en:
- Para
Calculamos los valores de la función en los puntos 
:
MÁXIMO
MÍNIMO
En primer lugar denominamos 
la condición de ligadura.
Por tanto definimos la función
Para calcular los máximos y mínimos de sometidos a la condición , hay que calcular los valores de ,, que cumplan las siguientes ecuaciones:
De la primera ecuación obtenemos que:
- Para :
- Para
:
Sustituyendo los valores en la última ecuación
NO VALIDO
Los puntos extremos condicionados se encuentran en:
- Para
- Para
- Para
Calculamos los valores de la función en los puntos 
:
MÁXIMO
MÍNIMO